Магические квадраты

(ранняя история)

 

Время и место появления простейшего магического квадрата, порядка 3*3 (рис. 1а), не определено. Сведений о знакомстве с ним в древнем Вавилоне или античной Греции нет. Косвенным аргументом, что магический квадрат порядка 3*3 знали в эллинистическом мире является ссылка на него в арабоязычной рукописи VIII в. (см. далее). В трактате неопифагорейца Теона Смирнского (+II в.) был приведен псевдомагический квадрат 3*3 (рис. 1б).

Известен магический квадрат порядка 3*3, записанный рунами. Квадрат был обнаружен в книге "Тhe Origin оf Tree Worship", относимой к 1888 году, касающейся ритуалов друидов; он имел вид (рунического) заклинания. После перевода обнаружилось, что "заклинание" является магическим квадратом (рис. 2 а-г). Время возникновение этого квадрата также не определено; историки условно относят его к +III - +V вв. Квадрат, очевидно, был составлен из двух более простых магических квадратов. Весьма примечательной особенностью данного ква­драта является то, что при замене (рунических) названий чисел на количество рун в этих названиях получался новый магический квадрат!! (эквивалентный стандартному, только начинающийся с числа 3). В центре этого квадрата вместо 15 оказывалось число 7 – поскольку на­звание числа 15 состояло из 7 рун. (В современном английском языке число 15 также записывается с помощью 7 букв). Наконец, при замене чисел исходного квадрата на сумму их цифр опять получался маги­ческий квадрат; в центре которого находилось число 6. Уникальность этих свойств рунического квадрата, в частности связь в нём числе 15 и 7, известная по древним культурам (например, с Иштар, Аполлоном связывались числа и 15 и 7) является аргументом в пользу его оригинальности или даже первообразности для других.

Магический квадрат порядка 3*3 был известен в Китае, где он назывался ло шу, "числа из реки Ло" – по псевдоисторическим легендам мифический культурный герой Фу Си увидел его на спине черепахи, вышедшей из реки Ло. Однако в датированных китайских документах этот квадрат зафиксирован лишь в эпоху Сун (рис. 3), а общее положение о вторичности китайской цивилизации предполагает импорт в неё таких, не связанных с предшествовавшим развитием и не нужных для практики объектов из главных цивилизационных центров. Ло-шу стал популярен в китайской культуре: строились его отображения на макрокосм (порождение сторон света/ мира в соответствие с порядком чисел в ло-шу); на микрокосм (строение тела) и так далее. "Этот простой магический квадрат имел необычную способность представлять основные концепции китайской мысли... ключ к пониманию китайской религии и философии… основа китайской нумерологии"[1].

На тибетских средневековых гадательно-астрологических картах встречался магический квадрат 3*3 (рис. 4). Он изображался там на спине черепахи, в сочетании с 12- чным циклом; триграммами и прочей "китайской спецификой" – что говорит о его трансляции из Китая.

Лучше датированные сведения о магическом квадрате порядка 3*3 относятся к миру арабоязычной культуры, где он впервые появился в рукописи конца VIII века, приписывавшейся алхимику Джабиру ибн Хайану (Геберу). В тексте рукописи автором этого квадрата был назван неопифагореец Аполлоний Тианский, живший в +I веке[2].

Вскоре в арабоязычном мире стали известны и магические квадраты высших порядков. Сочинение о магических квадратах написал сирийский математик Сабит ибн Корра ал Харрани (835 - 901 гг.). Квадраты порядков 3 - 9 были приведены в энциклопедии "Братьев Чиcтоты" серии трактатов, написанных во 2-ой половине X века.

Магические квадраты в арабоязычном мире использовались в астральной магии, т.е. как талисманы: Сатурну был соотнесён квадрат 3*3, Юпитеру – 4*4,… Луне  9*9. Квадрат 3*3, соотносившийся с Сатурном, применялся также как талисман "для облегчения родов".

В Индии (Кханджурахо) был обнаружен совершенный магический квадрат[3] порядка 4*4, относимый предположительно к VIII-IX вв[4].

В XII веке в Испании сочинение о магических квадратах написал р. Абрахам бен Эзра (1092 - 1167 гг.), занимавшийся астрологией.

По некоторым сообщениям, магический квадрат 3*3 был изображен на коронационной мантии сицилийского короля Рожера II (XII в.)

Ряд магических квадратов приводился в работе византийского учёного XIV века Мануэля Мосхопулоса. Мосхопулос описал метод построения квадратов нечётного порядка, названный им "индийским"; также привёл (без вывода) пример совершенного магического квадрата 4*4, совпадавшего с индийским. Возможно, Мосхопулос следовал работе персидских учёных: аналогичные примеры имелись в анонимной персидской рукописи 1212 года[5].

Самым ранним латиноязычным сочинением, где был приведен список магических квадратов порядков 3  -  9, является трактат Агриппы "Об оккультной философии" (1508- 32 гг.). Агриппа, следуя традиции арабоязычной магии, соотносил с этими квадратами планеты, то есть, применял их как талисманы для астральной магии (рис. 5). Поскольку в своей книге он приводил рядом с квадратами, написанными современными цифрами, аналогичные, написанные еврейскими цифрами (буквами), то, видимо, он заимствовал их частично из книг (испанских) евреев, возможно, того же бен Эзры[6].

Художник Альбрехт Дюрер (1471 - 1527/8 гг.) на своей картине "Меланхолия" изобразил совершенный магический квадрат, увязав его с годом создания картины (1514 г.); см. рис. 6.

Магические квадраты приводил в свои работах Штифель (1487 - 1567 гг.), немецкий математик, автор сочинений "Курс арифметики" (1544 г.), "Немецкая арифметика" (1545 г.), профессор университета Иены; одновременно священник- протестант и каббалист.

В XVIII веке Симон де ла Любер, посланник Франции в Сиаме, привёз в Европу метод построения магических квадратов, названный им "сиамским".

В дальнейшем задачи на построение магических квадратов стали популярным разделом занимательной математики.

 

Рис. 1а. Магический квадрат третьего порядка

 

     4   9   2

     3   5   7

     8   1   6

 

Рис. 1б. Псевдомагический квадрат Теона Смирнского

 

     1   2   3

     4   5   6

     7   8   9

 

Рис.2а.  "Друидический квадрат" в буквенной записи (англ.)

 

     Five        twenty two   eighteen

twenty eight     fifteen      two

    twelve         eight      twenty five

 

Рис.2б.  "Друидический" магический квадрат в числовой записи

 

     5   22  18          0  20 10            5    2    8

    28  15   2      =  20  10  0    +       8    5    2

    12   8   25         10   0  20            2    8    5

 

Рис.2в-г. "Друидический" квадрат

 

    4    9    8                          5    4   9

   11   7    3                         10   6   2

    6    5   10                         3    8   7

в) число букв в исходном        г) сумма цифр в исходном

 

Рис. 3.  Изображение ло-шу в китайском трактате эпохи Мин (XIV в.)

 

 

Рис. 4. Тибетские магические квадраты 3*3, эквивалентные ло-шу

    (изображены в круге на черепахе, тибетскими цифрами)

 

 

 

Рис. 5. Магические квадраты в сочинении Агриппы "Оккультная философия"

 

 

Рис. 6. Магический квадрат на картине А. Дюрера "Меланхолия"

 

  В нижней строке выделены числа 15 и 14 – год создания картины.

 



[1] Berglund L. "The secret of Luo Shu", 1990.

[2] Ссылки арабоязычных авторов, особенно ранних, на греческих учёных довольно часто являются ложными. Однако в данном случае вероятность трансляции магического квадрата 3*3 в арабоязычный мир из эллинистического усиливает применение этого квадрата в тогдашней магии для "облегчения родов" одновременно со связыванием его с Сатурном, который, по греческому мифу, проглатывал своих детей.

[3] Совершенный магический квадрат – такой, который имеет равные суммы не только по основным, но и по побочным диагоналям.

[4] Датировки событий индийской культуры являются весьма условными.

[5] Согласно Camman S. "The evolution of magic squares in ancient  China" // JAOS, v.80, 1960.

[6] Видимо, Агриппа заимствовал у еврейских авторов квадраты только рангов 3*3 и 4*4, а более высокие степени - из других работ. Это следует из того, что только в квадрате 4*4 у него встречается характерная для еврейской культуры замена числа 15 на 9+6. (Евреи заменяли, при записи чисел буквами, число 15 на 9+6, т.к. 15 составляло имя Бога (Яхве) а произносить или записывать имя Бога в иудаизме запрещено). В квадрате 5*5 и более высоких порядков у Агриппы число 15 было уже записано обычным способом, как 5+10.