Веса синтезированных понятий и суждений[1]

         

                 Пусть из некоторого набора понятий или суждений (B, C, D,) образовано- синтезировано некоторое общее понятие или суждение A. Исходные понятия или суждения могут быть конкретными или общими; они могут быть утверждениями или отрицаниями. После синтеза общего понятия или суждения A предыдущие B, C, D, можно обозначить как A1, A2, A3,… - они становятся его частными случаями.

          Все суждения, которые мы используем, в теории или на практике, имеют некоторый вес, значимость для нас; в математической модели непрерывной логики этот вес принимает значения между –1 и +1; при этом чем больше  (по модулю) вес, тем более существенно для нас данное суждение и обратно. –1 означает абсолютную ложность; +1 абсолютную истинность; 0 означает полную несущественность. Абсолютная истинность и абсолютная ложность недостижимы. Переход от непрерывной логики к обычной (двузначной) логике высказываний заключается в замене значения веса истинности его модулем. В двузначной логике суждения не различаются по значимости (а только по истинности – истинно (И) оно или ложно (Л)), но на практике, при решении задач, нахождении законов природы, поиске путей к цели, мы, явно или неявно, суждения по их значимости для нас различаем[2].

          Пусть исходные понятия или суждения A1, A2, A3,… имели веса δ1, δ2, δ3,… Спрашивается, какой вес следует приписать синтезированному A?

          Рассмотрим это для двух понятий или суждений (A1, δ1), (A2, δ2); для общего случая аналогично.

          Очевидно, вес δ для A должен удовлетворять условиям:

          1) принимать значения между –1 и +1;

                 2) для случая δ1 > 0 и δ2 > 0 вес δ должен быть больше δ1 и δ2;

          для случая δ1 < 0 и δ2 < 0 вес δ должен быть меньше δ1 и δ2;

          2') добавление подтверждающего примера, т.е. (A*, δ*) с δ* > 0, должно увеличивать вес суждения, например, добавление подтверждающего примера увеличивает вес истинности введённого общего закона природы; и обратно, добавление опровергающего примера, т.е. (A*, δ*) с δ* < 0, должно уменьшать вес, например, добавление опровергающего примера уменьшает вес истинности введённого закона природы, вплоть до признания его ложным (т.е. с весом меньше 0); наконец, добавление безразличного суждения, с δ* = 0, не меняет вес. (Пункт 2' это фактически переформулировка пункта 2).

          Будем обозначать синтез общего понятия или суждения (A, δ) из (A1, δ1), (A2, δ2) следующим образом:

          (A1, δ1) оs (A2, δ2) = (A, δ)

          Указанным выше условиям для веса синтезированных суждений удовлетворяет следующая формула:

          δ =12)/(1+ δ1*δ2)       (1)

          В самом деле, нетрудно проверить, что при δ1и δ2, лежащих в интервале (–1, +1), значение δ также будет находится в этом интервале.

          Далее, также нетрудно проверить, что если к некоторому (A, δ) добавить (A*, δ*) с δ* > 0 (подтверждающий пример), то вес повысится, а если δ* будет < 0 (опровергающий пример), то вес снизится. Если добавляется незначимый пример (δ = 0) то вес не меняется.

          (A, δ) оs (A*, δ*) = (A, δ**); δ* > 0 → δ** > δ

          (A, δ) оs (A*, δ*) = (A, δ**); δ* < 0 → δ** < δ

          (A, δ) оs (A*, δ*) = (A, δ**); δ* = 0 → δ** = δ

          Дальнейшие свойства:

          * если к утверждению добавить опровергающий пример с большим по модулю весом, то оно станет отрицанием (т.е. его вес станет < 0); то же, разумеется, произойдёт, если добавлять несколько опровергающих примеров, сумма весов которых окажется больше исходного. Это моделирует в т.ч. изменение истинности введённых законов природы при проведении проверочных экспериментов.

          * если к (A, +1), т.е. абсолютно истинному (строго говоря, очень близкому к нему) утверждению добавить любое другое, то его вес не измениться, останется +1. Аналогично, если к (A, –1), абсолютно ложному, добавить любое другое, то его вес не измениться, останется –1.

          * (A, δ) оs (A, –δ) = (A, 0), т.е. синтез суждения с его отрицанием даёт безразличное суждение. Исключением является синтез абсолютно ложного и абсолютно истинного, (A, +1) оs (A, –1), в этом случае значение истинности не определено.

          Формула (1) является очевидным аналогом формулы сложения скоростей в релятивистской механики; даже совпадает с ней при с = 1. Предельные значения истинности так же недостижимы при сложении- синтезе "обычных" (с весом меньшим +1 по модулю) высказываний, как и предельная скорость света; а при сложении- синтезе высказываний с "предельными" значениями (δ  = +1 или –1) не меняют этих значений – как и сложение досветовых скоростей со скоростью света.

          Рассмотрим, чему соответствует оs в логике высказываний.

          (A1, δ1) оs (A2, δ2) = (A, δ)

          Здесь все веса имеют значения +1 или –1 (0); обозначаем И, Л.

          Построим для оs таблицу истинности. Нетрудно получить, подставляя  +1 или –1 в формулу (1), что

 

И

Л

И

И

НО

Л

НО

Л

где НО = не определено; результат 0/0.

          Сравним операцию оs с основными для логики высказываний операциями логического умножения и сложения, A∩B, AUB. Нетрудно видеть, что оs там, где она определена, совпадает и с и U.

          В логике с весами (непрерывной логике) нет прямого общего аналога к операциям и U. Это связано с тем, что операции и U не слишком осмысленны (и т.о. их результату трудно придать вес значимости), когда A и B далеки друг от друга по смыслу. Например, какой смысл имеет конъюнкция утверждений "дважды два - четыре" и "на Солнце есть пятна"? В логике высказываний ему (формально) приписывается значение "И" (истина), но, очевидно, что эвристически они могут использоваться только раздельно, из-за полной несвязанности. Поэтому строить в непрерывной логике какой-либо аналог операций формальной конъюнкции или дизъюнкции ( и U) логики высказываний особенного смысла не имеет.

          Однако, если A и B некоторым образом связаны друг с другом (например, через синтезированное из них суждение), то такой аналог может быть рассмотрен. И для этого можно использовать операцию оs.

          Именно, определяем (A1, δ1) (A2, δ2) = (A, δ), где A имеет объём A1 A2 и вес δ =12)/(1+ δ1*δ2). Если теперь определить, по аналогу формулы де Моргана, какой вес следует приписать (A1, δ1) U (A2, δ2), то он получиться таким же. Т.о. определяем (A1, δ1) U (A2, δ2) как такое (A, δ), что A имеет объём A1 A2 и вес δ =12)/(1+ δ1*δ2).

          Т.о. введённые аналоги конъюнкции и дизъюнкции, (A1, δ1) (A2, δ2) и (A1, δ1) U (A2, δ2) имеют в непрерывной логике одинаковый вес, но различаются объёмами (как и в обычной логике высказываний).

         

         



[1] для лучшего понимания статьи желательно знакомство с работами автора: Симаков М.Ю. "Непрерывная логика", М., 2006 г.; Симаков М.Ю. "Начальные основы теории познания и логики", М., 2014 г.

[2] подробнее см. указанную литературу