Логические ошибки, софизмы; парадоксы

 

          Введение

          Классические софизмы и парадоксы

             античные

             средневековые

             современные

          Правдоподобные, но ошибочные утверждения и рассуждения

          Ответы

 

          Введение

          Рассуждение называется логичным, если оно следует правилам логики. Логичные рассуждения всегда дают правильные выводы.

          Нарушение в рассуждениях правил логики называется логической ошибкой. Рассуждения, содержащие логические ошибки, по определению, не являются логичными. Нелогичные рассуждения нередко дают ложные выводы.

          Рассуждения, похожие на логичные ("правдоподобные"), но приводящие к ложным выводам, называются софизмами (греч. - хитрость). Примеры: рассуждение, во время которого меняется смысл или объём используемых терминов, в т.ч. применяются подмены понятий, используются двусмысленные слова; доказательство тезиса, исходящее из него самого ("порочный круг"); доказательство, основанное на недоказанном. К нелогичным утверждениям/ софизмам, относятся также оперирующие высказываниями, которым не может быть приписана истинность или ложность

          Нелогичность рассуждения (в частности, "правдоподобного" софизма), можно показать, найдя в нём логическую ошибку; либо опровергнув его выводы, например, приведя их к противоречию – явно ложному утверждению, с очевидностью вытекающему из них, или указав контрпример – противоречащий им конкретный случай.

          Утверждения, противоречащие наглядным представлениям, или рассуждения, приводящие к таковым, получили название парадоксов (греч. - странность). Парадоксальными ("странными") можно называть и утверждения, на первый взгляд верные, но оказывающиеся после проверки ложными, что случается нередко. "Когда очевидные вещи стали доказывать, многие из них оказались неверными" (Б. Рассел).

          Парадоксальными- "странными" являются и определения, с виду простые и правильные, но задающие несуществующие/ обладающие взаимно противоречивыми свойствами объекты; например "брадобрей Рассела", который "бреет всех людей, которые не бреются сами" – такого брадобрея не может существовать. Определения, задающие несуществующие объекты, относятся к логическим парадоксам.

          Парадоксы часто получаются применением правил к ним самим, рекурсией; например: "у каждого правила есть исключения", или "никогда не говори никогда".

          В основе парадоксов обычно лежит некоторое противоречие – соединение взаимно несоединимых свойств или качеств предметов. Поскольку наш мир противоречив, то всякое глубокое его исследование выявляет те или иные парадоксы.

 

          1. Классические софизмы и парадоксы

 

          Античные

         "Куча"

         Одно зерно не есть куча. Если прибавлять всё время по одному зерну, кучи ещё не будет. Таким образом, куча никогда не получится.

         Современный вариант: -"Сколько стоит капля кваса?" -"Ничего не стоит". -"Накапайте, пожалуйста, стаканчик".

 

         "Рога"

         Чего ты не терял, то у тебя есть. Рогов ты не терял. Следовательно, ты рогат.

 

          Парадокс Эпименида ("Лжец")

          Критянин Эпименид сказал: "Все критяне - лжецы".

          Варианты: "Я лгу"; "Все, что написано в этой книге – ложно".

          Эти высказывания ложны или истинны?

 

         "Река Гераклита"

         В одну и ту же реку нельзя войти дважды (так как она меняется).

         Варианты: Взявший взаймы вчера сегодня уже ничего не должен, так как он уже стал другим; приглашенный вчера на обед приходит сегодня неприглашённым, так как он уже стал другим.

         Вариант Кратила: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится.

 

         "Ахиллес"

          Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет ещё вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

 

         Парадокс Протагора

          У древнегреческого софиста Протагора учился Эватл. По заключенному между ними договору Эватл должен был заплатить за обучение только в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Однако, закончив обучение, Эватл не стал участвовать в судебных тяжбах. Тогда Протагор подал на своего ученика в суд. Он сказал:

          "Каким бы ни было решение суда, Эватл должен будет заплатить. Он либо выиграет свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит по договору, если проиграет, заплатит по решению суда". Эватл возразил: "Ни в том, ни в другом случае я не должен платить. Если я выиграю, то я не должен платить по решению суда, если проиграю, то по договору.

 

          Парадокс Петрония

          Петроний сказал: "Ограничивайте себя во всех вещах, даже в ограничении".

          Варианты: "Нет правил без исключений"; "Никогда не говори никогда".

 

         "Мао дунь" (копьё-щит)

         Человек продавал на рынке "непробиваемый щит" и "всепробивающее копьё". Однако его спросили: "а что будет, если твоим копьём ударить по твоему щиту?"

          Выражение "мао дунь" со времени появления этого парадокса (усл. –III век) стало в Китае обозначением понятия противоречие; это ещё раз подчёркивает связь парадоксов и противоречий.

 

         Софизм Ю Хуана

          Китайцы цивилизованы, а все остальные народы – варвары. Римляне цивилизованы. Следовательно, римляне потомки китайцев.

          Хронист Ю Хуан жил в +III веке в царстве Вэй. В своём тексте "Народы Запада" он утверждал, что римляне считают себя потомками древних китайцев. Это спекулятивное утверждение было, видимо, навеяно вышеприведённым "силлогизмом".

 

          Средневековые

         "Курица и яйцо"

          Что было раньше — курица или яйцо?

 

          "Ангелы на конце иглы"

          Ангелы - существа бестелесные. "Кончик иглы" всё-таки имеет некий минимум (телесного) пространства. Так сколько же в нём может уместиться бестелесных ангелов?

 

         Парадокс всемогущества

          Может ли всемогущее существо создать камень, который оно само не сможет поднять?

 

         Парадокс всезнания

          Если всезнающее существо предвидит будущее, то оно может его изменить и, таким образом, его предвидение окажется неверным.

 

         "Буриданов осёл"

          Осёл, перед которым положили две совершенно одинаковых кучки сена, умрёт с голоду, так как не сможет сделать выбор, какую из них съесть.

 

         "Вилка Мортона"

          Лорд-канцлер Англии Джон Мортон в 1487 году, намереваясь пополнить казну, рассуждал следующим образом: если кто-то живёт в роскоши и тратит много денег на себя, то он обладает достаточным доходом, чтобы поделиться с королём. Если же кто-то живёт экономно, то у него тоже должны найтись деньги для короля, поскольку  благодаря экономии он накопил определенный излишек. Значит, налоги нужно брать со всех.

 

          Современные

         Парадокс Гегеля

          История учит человека тому, что человек ничему не учится из истории.

 

         Парадокс Гемпеля

          Утверждение "все вороны - чёрные" эквивалентно утверждению "всё, что не чёрное – не ворона". Поэтому наблюдения в природе красных яблок являются подтверждающими примерами для утверждения "все вороны - чёрные". Как, впрочем, и для утверждения "все вороны - белые".

         

         "Брадобрей" Рассела

          Брадобрей бреет только тех людей, которые не бреются сами. Бреет ли он себя?

          Вариант: "множество всех множеств, которые не содержат себя". Содержит ли оно само себя?

 

         Парадокс Берри

          Фраза "наименьшее число, которое нельзя описать менее, чем десятью словами"  описывает это число девятью словами.

         Вариант: наименьшее неинтересное натуральное число интересно этим свойством.

 

          2. Правдоподобные, но ошибочные утверждения и рассуждения

          Правдоподобные, но ошибочные утверждения часто получаются необоснованным обобщением. Для их опровержения достаточно привести противоречащие контрпримеры. Скажем, некий географ делает общее заключение: "все моря связаны с океаном". Оно опровергается контрпримером Каспийского моря, которое с океаном не связано.

          Другие примеры:

          "Все млекопитающие живут на суше".

          Контрпример: "Кит - млекопитающее, но он не живет на суше".

 

          "Все чётные числа делятся на 4".

          Контрпример: число 6.

 

          "Все непрерывные функции дифференцируемы".

          Контрпример |x|.

 

          "Общее мнение – критерий истины".

          Контрпример: Долгое время все считали, что Солнце вращается вокруг Земля.

 

          Двойное отрицание даёт утверждение. Но нет ни одного языка, в котором двойное утверждение обозначало бы отрицание.

          Контрпример: "Ага, конечно".

 

          Ошибочность ряда утверждений можно показать также выведя из них явно абсурдные, то есть, приведя к противоречию.

          Пример:

           В романе Тургенева "Рудин" нигилист говорит: "никаких убеждений нет и быть не может".

          - Так вы говорите: никаких убеждений нет? - спрашивает Рудин.

          - Нет и быть не может.

          - Это ваше убеждение?

          - Да.

          - Как же вы говорите, что их нет? Вот вам одно на первый случай.

 

          Можно также показать ошибочность утверждения, предъявив аналогичное, имеющее, однако, явно абсурдный характер.

          Примеры:

          "Если нечто нельзя представить, то оно не существует".

          "Не может этого быть",- сказал фермер, увидев жирафа. (Это также и контрпример)

 

          "Общее мнение – критерий истины".

          "Лучшая еда – навоз, миллиарды мух не могут ошибаться".

 

          Нелогичные, но правдоподобные рассуждения (софизмы) основаны на тех или иных логических ошибках. Они могут опровергаться контпримерами, приведением к противоречию и другими методами логики.

          Примеры (из книги С. Поварнина "Искусство спора"):

           "Если бы шел дождь, земля была бы мокрой; но дождя нет; следовательно, земля не мокрая".

          Контрпример: земля может быть просто политой водой.

 

          "Если у человека повышенная температура, он болен. У него нет повышенной температуры, значит, он не болен".

          Контрпример: многие болезни протекают без повышенной температуры.

 

           "Если солнце садится в тучи, завтра будет дождь".

          Нет однозначной (неразрывной) связи.

          Контрпримеры.

 

           "У нас будет в этом году неурожай. Потому, что на Солнце много стало пятен".

          Нет однозначной (неразрывной) связи.

          Контрпример: можно указать такой год, чтобы на Солнце было много пятен, но урожай оказался неплохой.

 

           "У нас скоро хлеб подорожает, потому что в Америке вчера было землетрясенье".

          Нет однозначной (неразрывной) связи.

          Контрпример. В некотором году в Америке было землетрясение, но хлеб у нас на следующий день не подорожал.

 

          Ошибочность ряда рассуждений или доводов можно продемонстрировать, предъявив аналогичное рассуждение, приводящее, однако, к явно ложному результату.

 

          3. Ответы (логические ошибки)

         "Куча"

          Понятие "куча" плохо/ некорректно определено.

 

          "Рога"

          Подмена понятий, в 1-м случае "не терял" относится к предметам, которые у нас есть, во 2-м – к тем, которых у нас никогда не было.

 

          "Река" ("Кредитор")

          Трудность применения логики к меняющимся объектам.

 

          "Лжец"

          Высказывания не имеют значения истинности или ложности.

 

          Парадокс Зенона

          Вывод в парадоксе Зенона, хотя и правдоподобный, но вовсе не логический, т.о. не обязательно достоверный. А поскольку он противоречит опыту, т.е. весьма убедительному источнику познания, то его следует отвергнуть.

 

          Софизм Ю Хуана

          1) Плохо определён термин "цивилизованные"; 2) Сомнительны обе посылки.

 

          Вилка Мортона

          Ложная дихотомия – помимо рассмотренных случаев имеются и другие.