Бесконечность

           

          Неопределённость бесконечности

          Бесконечность не является определённым-оформленным понятием. Как только бесконечности даётся определение она превращается в некоторую "конечность". В теориях, исчислениях, использующих слово бесконечность, оно является лишь обозначением, применяемым для сокращённого описания некоторых конечных- оформленных- определённых понятий или процедур. Бесконечность связана с такими также неопределёнными- неоформленными понятиями как бесформенность, беспредельность,

          Неопределённость, притом принципиальная, бесконечности отмечалась. Например, в 1774 году президент Берлинской Академии наук Лагранж решил объявить конкурс "о строгой и ясной теории того, что в математике называется бесконечностью". Лагранж предлагал, чтобы вместо бесконечности было введено некоторое другое понятие, "отчётливое и достоверное".

          Изучение бесконечности

          Бесконечность, несмотря на её неопределённость, можно изучать. В математике результатом изучения бесконечности стало создание методов "исчерпывания", интегрирования, дифференцирования,…

          Построение математических теорий, "использующих бесконечность", строгих или нестрогих, можно назвать "исчислением бесконечности".

          Основной вопрос для какой-либо теории, где участвует слово бесконечность (как, впрочем, и для любой другой): "эффективна ли она?" Так, "использующий бесконечность" математический анализ эффективен (помогает находить экстремумы функций,…). Пример неэффективной теории бесконечности: трансфинитная арифметика Кантора.

          Эффективность для практики теорий, методов, возникших при изучении бесконечности, может рассматриваться как критерий истинности представлений исследователя о бесконечности. И обратно: бесполезность теорий, "использующих бесконечность", говорит о неправильности таких представлений.

          Оформление бесконечного

          Математические теории возникают вначале, как правило, в нестрогом виде, где смысл понятий определён неточно, действия/ системы продукций даны приблизительно. Постепенно, в том числе в процессе устранения ошибок и противоречий, теории становятся всё более строгими, их понятия и методы действий – всё более оформленными, определёнными. Это в особенности относится к теориям, обращающимся к бесконечности, поскольку любые действия всегда производятся над конечным числом объектов (формул, фигур, чисел...) и состоят из конечного числа процедур (преобразований этих формул...). В предварительных рассуждениях, расчётах могут производиться плохо определённые "бесконечные вычисления", "бесконечные выводы", ... Однако такие расчёты или выводы являются лишь возможной основой для создания некоторых теорий, уже строго определённых и непротиворечивых (пример: исчисление бесконечно малых). Они могут так и остаться на уровне набросков, правдоподобных вычислений или умозаключений (пример: апории Зенона). В этом случае их применение в теории и на практике, как и вера в истинность их заключений, будут постепенно убывать.

          В процессе определения, оформления, уточнения предварительного наброска теории, обращающейся к бесконечности, эта неопределённая бесконечность превращается в определённые понятия и процедуры. Переход от расплывчатых, нестрогих рассуждений о бесконечности, "бесконечных" вычислений и пр. к определённой, явно представленной как конечной, теории представляет собой как бы конечное воплощение бесконечного.

          "Исчезновение бесконечности"

          Бесконечное, будучи частично исчисленным – можно сказать, породив это исчисление – уходит из него. В строгих математических теориях слово или символ "бесконечность" является обозначением определённых конечных процедур. Смысл любого понятия, разумеется, может меняться при изменении теории, в которой оно используется. Но с бесконечностью происходит нечто более существенное: в процессе определения, уточнения использующей её (нестрогой) теории она в какой-то момент исчезает, превращаясь в конечное; как бы уходит в некоторую неопределённую (бесконечную, бесформенную) область, из которой некогда, при возникновении данной теории она появилась, и откуда снова может быть вызвана, при построении следующей теории. Бесконечность уходит остается только порождённый ею (конечный) математический аппарат. Впрочем, уловить момент "ухода бесконечного", трансформации неопределённого бесконечного/ неявного конечного в определённую и явленную конечность примерно то же, что уловить момент остановки движения, перехода его в состояние покоя.

          Парадоксы бесконечного

          Новые теории, исчисления, возникшие при "работе с бесконечностью", особенно, когда они выражены в эскизной, нестрогой форме, могут приводить к противоречиям, парадоксам – правдоподобным, но ошибочным/ самопротиворечивым заключениям, к неверным результатам. Из-за этого новые теории нередко подвергаются серьёзной критике, особенно на этапе их становления. Так было, например, с анализом бесконечно малых критики, слабо знакомые с сутью дела, называли его "ненаучным", "нелогичным" и пр. "Метод анализа не согласуется с законами логики… как бы он ни был полезен, его можно рассматривать лишь как некоторую догадку, ловкую сноровку, искусство или скорее ухищрение, но не как метод научного доказательства" (епископ Беркли). Впрочем, в начале становления математического анализа недоуменные вопросы возникали даже у самих его создателей: "каким образом из столь противоречивых посылок получаются столь многочисленные истинные положения?" Главным критерием истинности любой теории, однако, является практика. Определить заранее все возможные эффективные научные методы нельзя это всё равно, что полностью исчерпать бесконечность. Оформить же до нужной строгости, чтобы избежать противоречий, понятия и методы эскиза эффективной, приносящей пользу теории задача чисто техническая; как это и произошло с тем же исчислением бесконечно малых.

          Бесконечное, в силу своей неопределённости, может содержать в себе взаимно противоречивые характеристики; в частности, оно само как бы и "есть" и "нет". При дооформлении до нужной строгости эскиза теории, использующей бесконечность, противоречия исчезают; однако и сама "бесконечность" при этом превращается в нечто конечное.

          Поскольку бесконечное может содержать в себе взаимно противоречивые характеристики, к нему нельзя применить метод заключения от противного, reductio ad absurdum (RaA). Это утверждение можно интерпретировать как "ограниченность применимости критерия непротиворечивости к бесконечному".

          С помощью бесконечности строятся эффективные математические теории. Т.е. бесконечность "полезна", т.о. "существует", "есть". С другой стороны, при строгом определении смысла слова бесконечность в какой-либо теории, оно всегда является лишь обозначением чего-то конечного. Т.е. бесконечности как бы не существует. Существует как некоторый порождающий источник, и не существует как определённый объект, предмет математических, логических процедур.

          Бесконечность как источник познания

          Бесконечность воздействует на исследователя, в результате чего возникают теории, системы понятий и продукций (методы обработки этих понятий). Работая с бесконечностью, создаются многие эффективные математические теории и методы. Про эти теории и методы можно сказать что они "порождаются бесконечностью", "извлекаются из бесконечности".

          Утверждение, что бесконечность порождает (математические) теории можно переформулировать так: бесконечность является источником познания. Источник познания, порождающий понятия, теории, отличается от них самих. В частности, понятия устойчивы, определены, оформлены.

          Бесконечность является весьма мощным, может быть даже основным источником познания. Теории и методы, использующие бесконечность – дифференцирование, интегрирование, преобразования Фурье и так далее – наиболее важны в современной математике. Некоторые их прообразы – "исчерпывание",... – появились ещё в античной науке, и уже тогда доставили ей значительный успех, в том числе в решении практических задач. Математику иногда даже называли наукой о бесконечности, имея в виду определяющую роль в ней этих методов.

             К бесконечности обращаются при поиске принципов науки, устройства Природы, жизни,… "При каждом серьёзном размышлении из глубины нашего сознания всплывает эта бесконечность..." (В.Н. Тростников).

          Бесконечность и движение

          Бесконечное похоже на движение. Оно так же ускользает от попыток его определения- оформления- ограничения... как и движение, а будучи частично определённым покидает эту созданную "оконеченную" часть и уходит в некоторую другую, остающуюся по- прежнему неопределённой и бесформенной. Как и бесконечное, движение никак не удается до конца уловить, остановить, завершить. "Оконеченная бесконечность" – это как бы остановленное движение. Как и бесконечность, движение то ли есть, то ли его нет. "Движенья нет, сказал мудрец брадатый. Другой смолчал и стал пред ним ходить...".

          Бесконечное и движение участвуют в похожих парадоксах – правдоподобных, но ошибочных или самопротиворечивых утверждениях. Причём они нередко и связаны там друг с другом. Так, например, апория Зенона, рассматривающая вопрос движения: "Догонит ли Ахиллес черепаху?" использует бесконечное деление отрезка.

          И бесконечное, и движение скорее источники изменений, чем понятия; они порождают новые понятия, системы, но сами ими не являются; используются как понятия лишь условно.

          Похожи не только бесконечное и движение, но и их оппозиции: конечноепокой; таким образом, похожи диады {бесконечное, конечное} и {движение, покой}. Покой соотносится с определённостью, оформленностью, конечностью.

          Исчисление бесконечного в математике можно соотнести с познанием движения в физике. Математика является, в главном, наукой о бесконечности: исчисление бесконечного дало ей наиболее мощные методы. Аналогично, физика является, в главном, наукой о движении, а познание движения, в особенности, его исчисление, дало физике наиболее важные результаты, составило основу научной революции XVII века; причём оба эти процесса – исчисление бесконечности и исчисление движения – интенсифицировались в одно и то же время (конец Возрождения - Просвещение) и реализовывались одними и теми же исследователями (Галилей, Гюйгенс, Ньютон...). Более того, именно методы "исчисления бесконечно малых" стали наиболее эффективными средствами в математическом изучении движения.

          Бесконечное исчисляется лишь частично: то и дело возникают новые математические методы, "использующие бесконечность". Аналогично после (частичного) познания движения, выявляются новые его виды, строятся их теории и так далее.

          Бесконечное в математике и божественное в теологии

          Если представление математики как "науки о бесконечном" является, во многом, лишь метафорой, то теология является бого-словием – словами о божественном – по определению.

          Между исчислением бесконечного и изучением божественного заметны существенные аналогии. Прежде всего, бесконечное – часто используемая характеристика божественного. Математические представления о бесконечном применялись для интерпретации богословских положений. Например, в теологии использовались математические модели типа "Бог это бесконечная сфера, периферия которой везде, а центр нигде". В.Н. Тростников рассматривал пример из теории пределов lim x*(1/x) (=∞*0) =1 как математическую иллюстрацию положения "действием бесконечного из ничего получается число (Вселенная)". Св. Игнатий (Брянчанинов): "К математической теории бесконечного мы обращаемся чтобы, по возможности более точно, объяснить отношения Творца и творения, в собственном смысле недоказуемые и необъяснимые".

          Хотя в математике есть и "конечные" разделы, но бесконечность даёт ей наиболее мощные методы. Аналогично, хотя божественное может быть охарактеризовано и как "конечное", поскольку оно стоит выше оппозиции конечное – бесконечное, однако бесконечное является его "более существенной" характеристикой. Как в математике бесконечное и "есть" и "нет", так и в теологии имеются и катафатические (положительные) и апофатические (отрицательные) характеристики божественного. Возможно, что философско-математические дискуссии о существовании потенциально бесконечного и несуществовании актуально бесконечного в математике соответствуют теологическим дискуссиям о возможности познания энергий божественного и невозможности познания его сути. В современной математике предлагается осторожно обращаться с бесконечным, в том числе подчеркивается ограниченность применимости к нему метода "приведения к абсурду" (RaA), критерия непротиворечивости. Аналогично, в современном богословии рассуждения о божественном, ссылающиеся на "правдоподобие" или на "приведение к абсурду", считаются предварительными и недостоверными. Впрочем, еще в –VI веке Гераклит рекомендовал "о величайшем не говорить правдоподобного".

          Математика; физика; теология

          Существует связь между математическим исследованием бесконечного, изучением движения в физике, и теологией божественного. Возможно, эту связь можно представлять в виде проекции: теология божественного → исчисление бесконечного в математике → изучение движения в физике.