Биполярная математика

 

Движение частей растения при его росте

 

В настоящее время обычным способом построения математических моделей движения тел является рассмотрение причинно-следственных моделей действия физических сил. Таковы модели движения тел под влиянием сил тяготения, электрического притяжения или отталкивания и пр. Силы задают, с учётом массы, ускорение тел, которое, в свою очередь, определяет движение тела – изменение его положения со временем.

В физических терминах силы представляются как воздействия (одних тел на другие). В 3-х мерном пространстве для большинства видов воздействий их величины обратно пропорциональны квадрату расстояния от центра воздействия (или, иначе говоря, они убывают, с удалением от воздействующего тела, по закону обратных квадратов).

Легко показать (Ньютон и др.), что движение тел в силовом поле, величина которого обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра воздействия, будет происходить по коническим сечениям (эллипс, парабола, гипербола).

Части (листья, цветки, …) растения, по мере его роста, движутся по траектории, близкой к логарифмической спирали. В попытках построения математической модели этого движения было отмечено (А. Чёрч, 1905 г.), что парастихи-боковые спирали, на которых лежат части растения, сходны с линиями, проявляющимися при воздействии магнита на железные опилки.

              

   Рис. 1, 2. Схематические изображения филлотаксиса в книге А. Чёрча[1].

 

  

   Рис. 3, 4. Железные опилки в магнитном поле. Силовые линии электрического поля[2].

 

Далее было замечено (Д'Арси Томпсон, 1917 г.), что спиралеподобность роста (движения частей) растения может являться результатом взаимодействия двух сил: некоторой "внутренней" силы роста, направленной от центра растения, и некоторой "отклоняющей" силы, направленной под постоянным углом к первой. Такое представление сводило задачу построения математической модели движения частей растений при росте к задаче действия сил – хотя и не давало, конечно, ни описания физического источника этих сил, ни их математического закона.

Вместе с тем, ещё в 1-й половине XIX в. было предположено (Джон Гудсир, 1849 г.), что, поскольку рост живых организмов происходит по логарифмическим спиралям, то действующая на них сила, обуславливающая этот рост, может подчиняться закону обратных кубов (Гудсир привёл ссылку на Ньютона, который в своих "Началах" показал, что если бы тела притягивались по закону обратных кубов, то они двигались бы по спиралям). Предположение шотландского учёного осталось незамеченным, как в его время, так и позже. Одной из причин этого была произвольность его гипотезы, другой – несоответствие закона убывания силы пропорционально кубу расстояния и размерности нашего пространства, в котором площадь сферы (по которой как бы "размазывается" исходящее от тела воздействие) пропорциональна квадрату радиуса этой сферы.

Биполярная модель

Представляется несколько странным, что во всех предлагавшихся до сих пор моделях роста растений, как физических, так и математических, не учитывалось весьма важное обстоятельство – наличие двух "центров сил", порождающих этот рост- движение. Между тем, их наличие очевидно прежде всего из общих соображений – новый живой объект (растение) возникает и растёт после "сцепления" двух противоположных начал: мужского (+) и женского (–), происходящего при их сближении на определённый квант расстояния Dh. После такого "сцепления" происходит своего рода "взрыв"- рождение нового объекта, затем его рост и развитие.

Наличие таких "центров сил" можно было бы увидеть и из схематизированных изображений филлотаксиса (рис. 1, 2), которые аналогичны картинам, получающимся при взаимодействии двух противоположных центров сил (рис. 3, 4).

Далее, поскольку имеет место определённое притяжение этих (+) и (–) начал, которое ведёт к их сближению и, затем, сцеплению, то им можно приписать, по аналогии с центрами физических сил, некоторое силовое поле.

Далее, хотя величину этого поля для каждого центра можно считать, как и обычно, обратно пропорциональной квадрату расстояния, но поскольку оба центра сил, взаимодействие которых обуславливает рост растения, в т.ч. движение его частей по генетической спирали, находятся на весьма малом расстоянии друг от друга, то их суммарное действие оказывается, в некотором приближении, обратно пропорциональным кубу расстояния, что можно увидеть из следующего простого расчёта:

 

F = F1 + F2 - результирующая сила; r1, r2 >> Dh

Fi| = k/ri2  (закон обратных квадратов)      (1)  

|F|2 = |F1|2 + |F2|2 – 2|F1|*|F2|*cos(j)             (2)

Dh2 = r12 + r22 – 2r1*r2*cos(j); отсюда получаем cos(j)

Поскольку r1, r2 >> Dh положим r2 = r1 + h1, где |h1| £ Dh

Подставляя в (2) значения для |Fi| и cos(j), и отбрасывая члены второго порядка по h1, имеем

|F| » 2k*r1*h1/r14 = 2k*h1/r13 (закон обратных кубов)

 

Итак, в такой модели суммарная сила, действующая на объект, обратно пропорциональна кубу расстояния, а, значит, его движение в таком силовом поле происходит по спирали.

 

Силовые поля и "генокод" вихря роста

 

На схематизированных изображениях филлотаксиса видно, что части растений (листья, цветки, …) располагаются на пересечениях серии лево- и правозакрученных парастихов, которые можно считать как бы линиями силовых полей, порождённым двумя центрами противоположных знаков (рис. 5).

Рис. 5.

 

Можно представлять дело так, что эти части (листья, цветки) порождаются и растут далее при сближении и сцеплении "квантов" (+) и (–) полей. То есть, кванты полей, образованных двумя основными  центрами, при своём сцеплении так же порождают новые объекты, как и исходные + и – центры. Эти объекты (листья, цветки, ….) растут и развиваются, после своего порождения, по некоторым законам.

Рис. 6.

 

Будем полагать, что начальные + и – центры, сцеплённые вместе, имеют определённый план развёртывания – так сказать, "генокод", который реализуется в росте и развитии самого растения; кванты их полей, на пересечении- сцеплении которых образуются части растения, также имеют "генокод"- план развёртывания, по которому из них растут- развиваются свои структуры, и так далее. Возможно, "генокод" квантов получается из исходного некоторым усечением последнего; затем он усекается снова и т.д., до полного исчерпания, ввиду конечного количества вложенных и развёртывающихся таким образом структур.

С течением времени рост растения, как и любого другого живого объекта, замедляется, и на некотором этапе (можно сказать, после "истощения энергии роста") он останавливается совсем. Если обратиться к приведённой выше аналогии с силовыми полями для зарядов, то наше "поле" следует считать короткодействующим, что соответствует очевидной массивности его "частиц".

 

Волны и вихри в неживой природе

 

Изложенная выше математическая модель может быть применена не только к росту растений, но и к определённым вихреобразным- спиральным движениям в неживой природе. В частности, к таким случаям, когда говорить о сплошной среде (и т.о. вращениях частиц в ней, порождающих вихри) не приходится; например, её можно отнести к образованию спиральных рукавов галактик.

Математические модели волн и вихрей в сплошной среде

Придадим в сплошной среде – т.е. объекте, состоящем из частиц, между которыми имеются определённые взаимодействия- силы сцепления – некоторой частице начальный импульс. Если бы этих сил сцепления не было бы, то частица продолжала бы двигаться бы по прямой линии, согласно закону инерции. Однако, вследствие наличия таких сил – т.е. воздействия со стороны окружающей среды – наша частица будет, во-первых, ограничена в своём движении, а во-вторых, передаст некоторый импульс соседним частицам, расположенным в направлении её движения. Те передадут импульс далее и т.о. в нашей сплошной среде возникнет возмущение. В определённых случаях это возмущение будет иметь вид волны.

Математические модели волн в сплошной среде могут быть получены из рассмотрения физического/ причинно-следственного описанного выше процесса "возмущения". Такой путь близок к редукционизму (нередко испытывающему трудности при попытках получения конечного результата); впрочем, здесь он оказывается эффективным. Другой способ введения математической модели волнового движения заключается в накоплении опытов и, затем, синтезе из них формы движения (напр. синусоидальной волны).

Сходным образом, рассматривая частицы, движущиеся в вихре (некоторой сплошной среды, напр. воды или воздуха), их отклонение от прямолинейного (инерциального) движения может быть описано как результат взаимодействия с соседними частицами, или иначе говоря, действия на них сил сцепления и давления, в котором важное значение (в отличие от волн) имеет вращение частиц.

Уравнения (математические модели) для вихрей могут быть получены, как и уравнения для волн, из рассмотрения указанных физических процессов. Но для некоторого класса вихрей эти уравнения могут быть введены (как и для волн) и напрямую, из накопления наблюдений и, затем, синтеза из них соответствующей математической модели.

Вместе с тем, и для вихрей в сплошной среде, в ряде случаев, по-видимому, можно применить биполярные модели – именно, представляя исходное порождение "начального элемента" вихря как результат взаимодействия двух сцеплённых силовых центров/ зарядов противоположного знака, и его дальнейшее распространение в сплошной среде в результате сочетания сил инерциального движения частиц и вовлечения ими, за счёт связи с соседними, других во вращательно-вихревое движение.

 



[1] Church A.H., On the Relation of Phyllotaxis to Mechanical Laws, 1920, Fig VI, II.

[2] Рис. 4. взят из книги Дж.Дж. Томсона "Электричество и материя", М.-Л, 1928 г.