Числа и фигуры использовались человеком уже на самых ранних этапах его интеллектуального развития. Они применялись при обмене/ торговле; размежевании полей; отделке инструментов; в строительстве, архитектуре; служили символами для изображения вещей; образцами для упорядочивания мира.

Исчисление- оформление физических объектов и явлений - построение их математических моделей было обусловлено практической эффективностью: оно позволяло рассчитать мысленный путь к цели, реализация которого приводила к успешному результату.

Достижение целей в мире на основе числовых расчётов и действий с фигурами свидетельствовало об определённой связи физической реальности с математическими объектами. Эта несколько загадочная связь, эффективность математики, была замечена уже в древности. В пифагорейской школе (–VI в.) ей дали следующее объяснение: математические объекты внедрены в реальность/ наш мир устроен по математическим образцам, благодаря чему математика даёт истинное = эффективное познание вещей и явлений Природы. Это положение было повторено Платоном (–IV в.), неопифагорейцами (–II - + II вв.), неоплатониками (III - VI вв.), а также во время ренессансов эллинизма в разных культурах[1].

Практическая эффективность математики имела следствием построение математических моделей в самых разных областях знания: физике, химии, биологии и т.д.; а также преобразование уже существующих теорий к математическому виду, их перевод на математический язык - математизацию. Научные теории после своего представления в математическом виде как бы набирали мощность или получали дополнительный импульс развития. Например, теория электромагнетизма, сформулированная вначале Фарадеем в "наглядных" терминах, стала существенно более эффективной после её математизации Максвеллом и затем Хэвисайдом. Лобачевский: "Все естественные науки стараются встать на более высокую степень совершенства, на которой последует их соединение с математикой". Пуанкаре: "По мере своего развития науки приближаются к тому состоянию, в котором законы допускают математическую формулировку".

Математический язык становится уже не просто более эффективным, а почти единственно возможным при описании событий, не допускающих представлений в наглядных терминах; например, для микромира. Гейзенберг: "Мельчайшие частицы материи это формы, структуры, о которых можно говорить только на языке математики".

Эффективное связывание объектов и понятий физического мира с пространством и временем (например, представление цвета как частоты колебаний световых волн) – так сказать, их погружение в пространство-время – даёт возможность управлять ими. Математизацию понятий, объектов можно рассматривать как их связывание с числами и фигурами, т.о. с пространством и временем.

События, хотя бы отчасти происходящие в пространстве и времени (например, биологические, социальные), являются, по крайней мере, частично, эффективно математизируемыми.

Пифагорейская теория бытия: "числа и фигуры – причины вещей"

Основная доктрина пифагорейской системы утверждала, что мир устроен по математическим образцам. Пифагор: "Все вещи (по сути) есть числа". Пифагореец Гиппас: "Число – первый образец творения мира, орган суждения творца мира". "Пифагорейцы считали началами (архэ) мира числа и числовые пропорции" (Аристотель).

Эти утверждения имели своей целью объяснение существования математических объектов в Природе, или, что то же, эффективности математического познания. А именно, поскольку мир устроен- упорядочен по математическим образцам, то он эффективно познаваем интеллектом, его математической частью.

Устройство Космоса по математическим образцам, как считали пифагорейцы, было произведено демиургом, сочетавшим числа/ фигуры с неопределённой материей. "Единый космос возникает, по <пифагорейцу> Филолаю, из ограничивающего и безграничного" (Прокл).

Платон поддержал пифагорейские представления об упорядочивании- оформлении мира с помощью математических образцов, хотя и сделал при этом акцент не на числа, а на формы-фигуры: "демиург занимается геометрией". Математическими образцами устройства физического Космоса у Платона были представлены числа и их пары 3:2, 3*5, степени 60, круговое движение, … Основные элементы физического Космоса (земля, вода, воздух, огонь) оформляли четыре правильных многогранника: куб – землю, тетраэдр – огонь и т.д. Пятый многогранник, додекаэдр, оформлял эфир или всю Вселенную.

В неопифагореизме (–II - +II вв.) и неоплатонизме (III - V вв.) представления о числах и фигурах как прообразах, принципах объектов и явлений физического мира были повторены и систематизированы. Плутарх Херонейский (I - II вв.): "Геометрические Формы охватывают и определяют материю. … Демиург из двух сущностей сотворил Космос ... упорядочил природу смыслом <формой>, мерой, числом". Теон Смирнский (II в.): "Числа – принципы, корни всех вещей… существовали до создания Космоса в разуме Творца". Ямвлих (III - IV вв.): "Геометрия исследует природу, виды воспринимаемых тел … она содержит прообразы чувственных тел... Чтобы понять физические феномены следует найти их математические принципы". Прокл (V в.): "Геометрия, вообще математика, даёт научную основу, а также научную форму изложения физики".

В средневековье, во время ренессансов эллинизма в разных культурах повторялись и пифагорейские представления о числах и фигурах как принципах объектов и явлений физического мира. Энциклопедия "Братьев Чистоты" (X в.): "Наука чисел – корень других наук, начало точного знания". Тьерри Шартрский (XII в.): "Творение чисел есть творение вещей". Роджер Бекон (XIII в.) утверждал, что математика – основа всех наук: "Математика имеет универсальные методы, которые применяются ко всем наукам. … Математика – ключ к другим наукам, азбука философии". Гроссетет, Р. Бекон, Пекам (XIII в.) считали оптику физической основой, принципом природных явлений, а геометрию – принципом оптики. Гроссетет: "Причины действий в природе должны быть даны посредством линий, углов, фигур … иначе нельзя узнать эти причины". Бекон: "Без геометрии ничего нельзя объяснить в оптике".

Ренессансные философы-неоплатоники XV-XVI вв. повторили основные пифагорейские представления о том, что математические объекты являются прообразами физических объектов и явлений. Николай Кузанский: "Бог создал мир при помощи арифметики, геометрии, музыки, астрономии… Число – первый образец вещей... образцом понятийного мира, созданного нами по сходству с вещами, является число". М. Фичино: "Так как физическое знание становится известным из математического, то физическое следует проверять математическим".

Такие же взгляды высказали и многие видные учёные эпохи Возрождения. Р. Рекорд: "Числа образуют мир и суть души". Джон Ди: "Принципом всех вещей являются числа … так как числа – образец (patterne) в разуме Творца". Галилей: "Книга природы написана на языке математики, её письмена – треугольники, окружности и другие фигуры". Кавальери: "Знание математических наук, по суждениям знаменитейших школ пифагорейцев и Платона совершенно необходимы для понимания физических явлений". Декарт: "В физике нет принципов, отличных от принципов геометрии или абстрактной математики. … Я полностью согласен с Галилеем, который старается исследовать физические предметы посредством математических доказательств, и полагаю что не существует другого способа отыскания истины. … Дайте мне форму и движение и я построю Вселенную". Кеплер: "Геометрия существует от сотворения вещей ... она служила образцом Богу при сотворении мира. … Следы геометрии запечатлены в мире так, словно геометрия была прообразом мира".

Успехи быстро развивавшейся в Европе, начиная с эпохи Возрождения, математической физики укрепляли подобные убеждения, которые вскоре стали доминирующими среди учёных. И. Ньютон: "новейшие авторы, отбросив субстанции и скрытые качества, стараются подчинить явления природы законам математики". Сам Ньютон свой главный труд, излагавший фундаментальные принципы физики, назвал "Математические начала натуральной философии". Он писал: "В этом сочинении имеется в виду тщательное развитие приложений математики к физике... это сочинение предлагается нами как математическое основание физики". Фурье: "Уравнения математического анализа так же всеобъемлющи как сама природа... с его помощью математика проникает в суть физических проблем". Гиббс: "Математика – это язык". Ом: "Факел математики озаряет все науки". П.А. Некрасов: "Никакая закономерность не может быть определена без математического элемента". Кронекер: "Бог создал натуральные числа, человек – всё остальное". Дж. Джинс: "Великий Архитектор Вселенной всё больше напоминает чистого математика". Лобачевский: "Всё можно исчислить. … Науке чисел принадлежит всё, что имеет величину, а что в физическом мире её не имеет? В нём всё существует под необходимым условием быть измеренным и, следовательно, всё подчинено законам математики. Поэтому все естественные науки стараются встать на более высокую степень совершенства, на которой последует их соединение с математикой". Пуанкаре: "По мере своего развития науки приближаются к тому состоянию, в котором законы допускают математическую формулировку". Эддингтон: "Идеал, к которому мы стремимся, заключается в объединении наших знаний о физическом мире в единую науку, положения которой выражались бы в геометрических или квазигеометрических концепциях". Клиффорд полагал, что физические объекты и явления могут быть представлены пространственно-временными структурами и их преобразованиями типа волн кривизны. Аналогично считал Уилер: "Материя, заряд, электромагнетизм и другие поля – это проявления искривлённого пространства". Гейзенберг: "Мельчайшие частицы материи это формы, структуры ... о которых можно говорить только на языке математики... До сих пор основные уравнения физики записывались математическими формулами. ... В современной квантовой теории элементарные частицы, в конечном счёте, представляются как математические формы. … Современная физика идет по тому же пути, по которому шли Пифагор и Платон".

Музыкально-математический Космос.

Уже у ранних пифагорейцев сопоставление объектам мира чисел наряду с сопоставлением отношений чисел музыкальным интервалам (2:1 - октава, 3:2 - квинта, 4:3 - кварта) привело к представлению о Космосе как не только математическом, но и музыкально-математическом объекте, музыкальной гармонии, аккорде. "Вселенная, по мнению пифагорейцев, является гармонией и числом" (Аристотель). "Пифагор утверждал, что мир устроен гармонически" (Страбон). "Космос, по мнению пифагорейцев, устроен гармонично... гармония же есть система из кварты (4:3), квинты (3:2) и октавы (2:1)" (Секст Эмпирик).

Сопоставление пифагорейцами чисел небесным телам/ их орбитам привело к представлению о музыке небесных сфер; к связыванию астрономии с музыкой. "Эти две науки <музыка и астрономия> – словно сёстры, так говорят пифагорейцы" (Платон, "Тимей"). У самого Платона использование для описания устройства Космоса числовых пропорций, совпадавших с музыкальными интервалами, также означало, что его модель Космоса могла быть интерпретирована как музыкальная гармония.

Музыкально-математические модели Космоса стали популярными в Европе времен Ренессанса. Р. Фладд в работе "Монохорд мира" (1623 г.) изобразил Космос в виде музыкальной струны; соотнёс его объектам и областям ноты. И. Кеплер в книге "Гармония мира" (1619 г.) сопоставил числовым отношениям орбит планет музыкальные интервалы – также представил Вселенную как музыкальную гармонию.

Рис 1. Представления Кеплера о музыкальной гармонии мира.

Геометризация физики

Постулат геометризации физики утверждает, что все физические понятия можно представить пространственно-временными структурами, а физические явления, изменения можно свести к движениям в пространстве, типа волн кривизны. Пространственно-временные/ геометрическо- числовые структуры при таком подходе представляют собой суть физических объектов и явлений, что аналогично пифагорейско- платоническому тезису "все вещи суть числа-формы".

Доктрину/ программу геометризации физики поддерживали У. Клиффорд (1845- 79 гг.), Дж. Уилер (1911 - 2008 гг.): "Изменение кривизны есть то, что мы называем движением материи, будь она весомая или эфирная … В физическом мире не происходит ничего, кроме таких изменений" (Клиффорд). "В мире нет ничего, кроме пустого искривлённого пространства. Материя, заряд, электромагнетизм и другие поля являются лишь проявлениями искривлённого пространства" (Уилер).

В более развёрнутом виде их тезисы таковы: "Я считаю что 1) Малые участки пространства аналогичны небольшим холмам на поверхности, которая в среднем является плоской; там несправедливы обычные законы геометрии 2) Это свойство искривленности или деформации непрерывно переходит с одного участка пространства на другой наподобие волны 3) Это изменение кривизны есть то, что мы называем движением материи, будь она весомая или эфирная 4) В физическом мире не происходит ничего, кроме таких изменений, подчиняющихся (возможно) закону непрерывности" (Клиффорд, "О пространственной теории материи", февраль 1870 г.). "В мире нет ничего, кроме пустого искривленного пространства. Материя, заряд, электромагнетизм и другие поля являются лишь проявлениями искривленного пространства. Физика есть геометрия… Некоторые книги древнеиндийских Вед также позволяют предположить, что эта идея – идея что природа черпает всю свою структуру и поведение из свойств пространства очень стара" (по комментарию автора речь идет о представлениях упанишад что из акаши развились все другие (5) элементов" (Уилер).

Сходные идеи о пространстве как "основе физики" высказывал ренессансный неоплатоник Ф. Патрици (1529- 97 гг.): "Итак, пространство есть то, что было прежде мира и будет после него, что стоит во главе мира, из него исходит и наконец обращается в нечто… Разве оно тогда не является субстанцией? Если субстанция есть то, что лежит в основе, то пространство и есть скорее всего сущность мира". Также Декарт (см. выше). В такой общей форме они соответствуют пифагорейскому тезису.

Математическая модель космогенеза

Модели космогенеза должны объяснять, помимо прочего, внедрённость в Природу математических объектов (= эффективность математического познания) и способности человека к такому познанию.

Будем представлять начальный этап космогенеза как внедрение в неупорядоченное море света/ изначальный хаос- материю аналога циклических волновых структур, движущихся с критической (световой) скоростью. Вследствие связи света с пространством-временем, эти структуры можно считать пространственно-временными объектами.

Эти структуры можно рассматривать как Идеи-Формы, внедряемые в движение- материю, ограничивающие её. Форма – это остановленное движение; структурирующее его. "Движение вообще", неопределённое/ неоформленное = движение со скоростью света, "море света". Его оформление = внедрение в него некоторых стационарных форм. Это тот же свет, только частично упорядоченный, стационарный, имеющий форму. После такого внедрения "движение вообще" становится движением Форм, внедрённых в "изначальный свет".

Эволюция Космоса

Если эти структуры включают в себя преобразование- развёртывание во времени, то их можно интерпретировать как законы Природы, правила роста- развития- эволюции образовавшегося физического Космоса. (Рост физического Космоса аналогичен росту растений или животных). Они определяют появление с течением времени новых форм ставшей упорядоченной материи; всё более тяжёлых частиц/ структур.

Цикличность этих Форм может интерпретироваться как предвремя; т.к. физическое время определяется через циклические процессы.

Математическое познание

Если интеллект является отражением физического пространства-времени, а математические объекты в нём являются свёрнутыми пространственно-временными структурами, то в интеллекте могут отражаться и внедрённые в Космос имеющие математический, пространственно-временной характер законы Природы.

Построенная модель космогенеза иллюстрирует "внедрённость" математических законов в Природу, "устройство Природы по математическим образцам", равно и (как следствие) возможность познания интеллектом человеком (частично и животными, чей, хотя и гораздо более слабый, интеллект устроен, видимо, сходным образом) этих законов.

Математика реалистическая и нереалистическая

Математические объекты внедрены в реальность (положим, интеллектуальным дизайном). Например, волны от брошенного в воду камня распространяются кругами, планеты движутся по эллипсам, разнообразные явления природы подчинены некоторым математическим законам.

Однако почему физические проявления совершенных- идеальных математических объектов выглядят столь несовершенными? Например, те же круги на воде или эллипсы орбит планет не бывают точными, они всегда искажены "возмущениями" – хотя, казалось бы, если они внедрены совершенным интеллектом, то должны быть тоже совершенными, как идеальные математические фигуры.

Ответ, видимо, таков: математические объекты, воспринимаемые нами в реальном мире визуально или интеллектуально (как его законы), являются лишь приближениями в его познании. На более высоком уровне познания реальность будут представлять более сложные математические объекты, "включающие" предыдущие, как свои приближения/ упрощения.

Математика, описывающая физический мир соответственно его уровню познания, может быть названа реалистической – она даёт понимание реальности, хотя бы и ограниченное- приближённое. Но математические модели за пределами их применимости следует называть нереалистической математикой: её объекты излишни/ не реализуются в мире. Таковы, например, точные решения уравнений, выходящих за пределы своей применимости. В то же время их решения, даже приближённые, не выходящие за эти пределы, дают математические объекты полезные (и красивые), внедрённые в реальность – реалистические.

Интеллект

Математическое устройство интеллекта

Математика как первое знание.

Математика возникла на самых ранних этапах цивилизации. Счёт, важнейшая интеллектуальная процедура, появился на начальной стадии развития человечества. Аналогично, на весьма раннем этапе своего умственного развития человек занялся изучением и геометрических фигур.

Математика как основа деятельности интеллекта

Интеллект определяет понятия и устанавливает связи между ними. Определение понятий представляет, по сути, математическую процедуру: "определить" – установить предел употребления, ограничить, перечислить,… – подразумевает связь с числами или фигурами. Интеллектуальные/ логические выводы или доказательства также, по сути, являются математическими процедурами, поскольку они используют формальные отношения между понятиями и их связями. Таким образом, математика является основой интеллектуальной деятельности.

С занятиями математикой, изучением чисел и фигур во все времена связывалось представление об интеллекте: "Те, кто более способен к счёту, способны и к остальным наукам" (Платон). "Золото проверяют огнём, дарование – математикой" (Лука Пачоли).

Полнотаматематического познания

Физический мир познаётся через математические понятия - "математическая часть" интеллекта даёт познание объектов и явлений Природы, притом эффективное. При математизации теории, сформулированные в общих интеллектуальных терминах, не только ничего не утрачивают, но даже повышают результативность. Таким образом, для познания физического мира достаточно "математической части" интеллекта – она вполне описывает- представляет всё, что есть в Природе.

Определяющее значение математики для интеллектуального познания; её ясность и эффективность позволяют высказать предположение: интеллект лучше всего представляется математическими понятиями, а его работа – математическими операциями. Это можно назвать гипотезой о математическом устройстве интеллекта. Возможно даже, что интеллект является математическим объектом, а его работа – математическими действиями. Близким к этой гипотезе является положение, что идеи, понятия, интеллектуальные системы имеют точное математическое представление.

Математика как язык прогресса

Возможно, математика представляет собой не только средство для более удобного, более эффективного выражения научных теорий, но и язык, на котором формируются/ воспринимаются открытия, определяющие прогресс человеческой цивилизации. В настоящее время многие изобретения или открытия в различных науках происходят прямо в математической форме. В прошлом, как кажется, было иначе – изобретения колеса, гончарного круга и т.д., являя собой достижения пробудившегося интеллекта, с виду не были связаны с математикой. Но, учитывая изоморфизм интеллектуального и математического, можно предположить, что и ранние научно-технические открытия человечества также имели математическую основу/ были восприняты в неосознанно математических формах. Если так, то интеллектуальный прогресс говорит на математическом языке – вначале в неявной форме, а ближе к нашему времени – всё более явно.

Такая гипотеза позволяет до некоторой степени уяснить загадочный феномен сохранения в древних культурах математических знаний, очевидным образом не имевших тогда прикладного значения – теоремы Пифагора, пифагорейских троек в древнем Вавилоне, Индии; теорем о конических сечениях в античной Греции и т.д. Теперь это можно представить себе как сохранение и передачу предчувствуемых или неявно осознаваемых "священными" – в смысле нужными для будущего – элементов языка, на котором позже будут восприниматься или излагаться идеи, определяющие прогресс человечества.

Эволюция математики

Математический аппарат развивается; в частности, в нём создаются новые понятия и исчисления для более удобного представления физических явлений. Пример доставляет теория электромагнетизма: сформулированная вначале Максвеллом в не слишком удобной форме, она затем была "компактифицировна" Хэвисайдом с использованием векторного исчисления, а позже изложена ещё более изящно и общо с помощью теории компенсирующих полей.

Компактификацию математических моделей, ввод более удобных и изящных математических методов можно рассматривать как преобразование (математического) пространства интеллекта – ввод в нём новых структур и систем продукций, позволяющих более быстро и эффективно выводить предыдущие результаты и физические следствия – то есть, фактически, развёртывать отображённое- свёрнутое в интеллекте пространство-время и структуры в нём обратно в физической мир.

Математический мир как свёртка пространства-времени

Числа и фигуры – представления времени и пространства

Будем полагать, что числа и фигуры являются математическими представлениями времени и пространства: промежуткам времени сопоставляются числа; частям пространства – фигуры. То есть, числа и фигуры представляют в интеллекте физическое время и пространство. Соответственно, арифметика и геометрия представляют/ моделируют свойства пространства-времени: арифметика = математическое представление теории времени; геометрия – теории пространства. Арифметические и геометрические действия представляют движения во времени и в пространстве: сложение соответствует изменению во времени, при представлении времени числами; преобразования фигур – движению в пространстве, при представлении пространства формами.

Пространство-время издавна связывалось с числами и фигурами. "Время – число движения" (Аристотель). По аналогии, очевидно, пространство – форма движения.

Арифметика и геометрия являются основой математики – математические доказательства в конечном счёте сводятся к арифметическим и геометрическим наглядным истинам. "Арифметика и эвклидова геометрия не просто элементарные части математики, а базовый круг очевидностей, к которым редуцируется любое математическое рассуждение … являются методологической основой математического мышления" (В.Я. Перминов)[2].

Редукция математики к геометрии и арифметике – теориям физического пространства и времени – позволяет предположить, что математический мир представляет собой некоторое отражение физического пространства-времени, его свёртку, аналогичную стереографической проекции, переводящей неограниченную плоскость в ограниченную сферу; математическая деятельность, в своей основе, представляет собой преобразование пространственно-временных структур; поиск пути к цели, моделируемый в интеллектуальных системах, "пространстве интеллекта", является представлением поиска пути к цели в физическом пространстве[3]. Это предположение аналогично постулату геометризации физики, согласно которому физические объекты представляются пространственно-временными структурами; физические явления – их преобразованиями.

Предположение о пространственно-временном строении интеллекта/ математической части его поддерживается аналогиями между физическими системами, существующими и эволюционирующими в физическом пространстве-времени и интеллектуальными системами, существующими и преобразующимися в "пространстве" интеллекта.

Объяснение эффективности математики

Одной из интерпретаций пифагорейской доктрины о "внедрении" чисел и фигур в вещественный мир стало утверждение, что физические объекты могут быть представлены как пространственно-временные структуры, а физические события – как их преобразования, типа волн кривизны. Этот концепция получила название геометризации физики.

С другой стороны, постоянная редукция математических понятий и доказательств к "наглядным истинам" геометрии и арифметики, являвшихся теориями пространства и времени, позволила предположить, что математические объекты тоже представляют собой некоторые пространственно-временные структуры, отображенные в свёрнутом виде (подобно, например, стереографической проекции) в интеллекте.

Соединение обеих этих концепций дало более полное объяснение математическому познанию физического мира, которое теперь могло быть истолковано как поиск интеллектом в самом себе свёрнутых пространственно-временных (= математических) структур, соответствующих изучаемым объектам или явлениям внешнего вещественного мира. Возможность такого познания обуславливалась тем, что и физические, и математические объекты являются некоторыми представлениями пространства и времени, а его эффективность означала, что соответствие между внешними и внутренними структурами установлено правильно.

Математические объекты и свет

Пространство-время связано со светом: 1) прямая линия, основное понятие пространства, характеризуется как траектория луча света; 2) метрика пространства-времени определяется скоростью света. Структуры, образованные из частиц- волн, движущихся со скоростью света, в частности световые конусы, являются, по сути, пространственно-временными объектами.

Учитывая связь пространства-времени со светом, предыдущее утверждение можно трансформировать следующим образом: математические объекты являются представлениями некоторых структур, образованных из частиц- волн, движущихся со скоростью света, притом таких, на основе которых устроена вся Природа. Преобразованные при отображении- свёртке в "пространство" интеллекта (точнее, в "математическую часть" интеллекта, которая, однако, является его основой; см. далее) они становятся внутренними объектами, которые мы вызываем и обрабатываем в своей интеллектуальной деятельности. Их можно рассматривать как аналоги сложных радиосигналов; их обработку- преобразование – как аналог работы радиоаппаратуры; обмен ими – как аналог обмена радиоволнами. В этой модели математические объекты, обычно понимаемые как метафизические сущности, представляются как "свёртки" световых физических структур. Будучи отображениями принципов физического мира, они дают возможность его познания.

Математика как логика представления

Если математический мир является представлением физического пространства-времени, то системы продукций, действующие на математических объектах, представляют преобразования пространства и времени. То есть, математические операции – сложение, умножение, движение фигур и т.д. – представляют некоторые силы "непосредственного" преобразования физического пространства и времени/ движений в нём. Вызов математического объекта, сутью которого является некоторая пространственно-временная (или световая- электромагнитная, вследствие связи пространства времени со светом) структура, и применение к этой структуре сил преобразования (физического) пространства, даёт математический вывод. Таким образом, математика - это логика представления[4], возникающая при представлении физического пространства-времени в интеллекте. Универсальность математики соответствует универсальности пространства-времени.

Пифагорейская теория знания: "любое знание есть исчисление"

В пифагорейской школе (–VI в.) поддерживались представления, что математика и только она даёт истинное познание вещей.

Прежде всего, пифагорейцы отмечали, что исчисление объектов доставляет некоторое ощущение их познанности. "С помощью чисел познаются и взаимно согласуются вещи. … Природа числа познавательна, предводительна и учительна" (пифагореец Филолай).

Далее, математическое познание/ исчисление считалось пифагорейцами точным, истинным. "Математики прекрасно установили точное знание ... правильно мыслят о каждой вещи, каковы её свойства" (пифагореец Архит). "Истина родственна числу" (Филолай).

И обратно, ложные, ошибочные, неточные представления о вещах связывались пифагорейцами с отсутствием их числового познания. "Ложь не допускает природу числа и гармонии ... лжи присуща безграничность, непостижимость, иррациональность" (Филолай).

Наконец, пифагорейцы полагали, что только математика доставляет познание, что любое (истинное) познание объектов есть только их математическое познание. Таким образом, аналогично тому, как суть вещей сводилась у пифагорейцев к числам, так и познание вещей (по крайней мере, истинное познание, познание сути) сводилось у них к одному лишь виду познания: математическому – исчислению, измерению, взвешиванию,… "Всё, что познается, имеет число, невозможно ничего познать без числа" (Филолай).

Интеллектуальный мир для пифагорейцев совпадал с математическим, разумным считалось только математическое. "Пифагорейцы считают критерием истины разум, но не любой, а тот, который проистекает из математики" (Секст Эмпирик).

Утверждения пифагорейцев, что любое истинное знание является математическим основывались на их же представлении об устройстве мира по математическим образцам.

Платон, следовавший пифагорейцам, отводил математике наиболее высокий статус среди наук: "Те, кто более способен к счёту, способны и к остальным наукам".

Хотя Платон ввёл идеи - общие интеллектуальные понятия, однако они имели у него, по существу, геометрический или супергеометрический характер; а в дальнейшем, в работах его преемников, были вообще сведены к математическим объектам.

Высказывания пифагорейцев о точности математического знания, неточности нематематического знания, об исчислении как истинном познании повторили многие учёные, в разные эпохи. Птолемей (+II в.): "Только математика. ... доставляет своим воспитанникам прочное знание". Прокл (V в.): "Математика – это единственный язык, посредством которого мы можем познать всё сущее". Исидор Севильский (VI в.): "Возьмите от вещей их числа и всё исчезнет … уберите счёт и человек не будет отличаться от животных". Энциклопедия "Братьев Чистоты" (IX в.): "Наука чисел – корень всех других наук, начало точного знания". Аль Фараби (IX в.): "Арифметика и геометрия проникают во все науки и искусства".

Пифагорейские высказывания о знании были повторены в эпоху Возрождения. Пико делла Мирандолла: "Посредством чисел ищется путь к познанию истины". Николай Кузанский: "Несокрушимая достоверность математических знаков. ... Отнимите число, и не будет возможности различать вещи, не будет порядка, пропорции, гармонии, даже самой множественности бытия". Леонардо да Винчи: "Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя применить математику. … Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнёт читать моих работ". Лука Пачоли: "Из всех истинных наук математические науки наиболее истинны и имеют первую степень достоверности, им следуют все другие естественные науки". Р. Рекорд: "Ничего нельзя определить без чисел". Декарт: "Я считаю наиболее достоверными те истины, которые относятся к фигурам и числам. ... Только математикам дано достичь несомненности и ясности, так как они исходят из того, что наиболее ясно и просто".

В эпоху Просвещения и далее такие представления стали доминирующими среди учёных и философов. Гоббс: "математика – образец любого способа познания мира". Кант: "В каждой науке столько собственно науки, сколько в ней математики". Вейгель: "математика представляет собой часть любой строгой науки … достоверно только количественное знание". Кельвин: "Если вы можете измерить то, о чем говорите, и выразить это в числах, то вы что-то знаете об этом предмете, если нет - ваши знания скудны и неопределённы". П.А. Некрасов: "… основной принцип всякого точного знания: "творец всё сотворил мерой, числом и весом"". Гиббс: "Математика – это язык". Нидхэм: "Сейчас математика является универсальным языком, превосходящим все национальные языки".

Математические модели в теории познания

Филопон (+VI в.) использовал для представления отношений по объёму между понятиями геометрические фигуры. Именно: более широкое понятие изображалось в виде круга, включавшего в себя меньший круг – более узкое понятие.

Эйлер (XVIII в.), также используя круги для представления понятий, ввел геометрические модели отношений конъюнкции, дизъюнкции, отрицания (т.е. связок "или", "и", "не") понятий – в виде, соответственно, пересечения, объединения и дополнения кругов.

С помощью кругов Эйлера можно представить отношения между понятиями по объёму. Однако они не описывают их связи по содержанию. Относительно удовлетворительное математическое представление смысла/ содержания понятий даёт теория графов. Обозначая понятия точками, а связи между понятиями (задающие их смысл) – отрезками, соединяющими эти точки, получаем некоторый граф. Наглядной моделью такого представления является гипертекст, являющийся, по существу, некоторым графом. Желая уяснить содержание входящего в гипертекст понятия (представленного одним словом или набором слов), мы раскрываем его, получая новый гипертекст, дающий определённый смысл интересующему нас понятию; если требуется дальнейшее уточнение смысла – раскрываем другие входящие в него понятия и так далее, до достижения удовлетворительного понимания смысла. Результатом является некоторый (весьма разветвлённый) граф, который и можно рассматривать как определённое приближение смысла- содержания изучаемого понятия.

На графах моделируются также такие операции с понятиями как уменьшение содержания (например, удалением признака) – исходный граф заменяется некоторым подграфом (т.е. часть графа отсекается); расширение содержания – добавление подграфа и т.д.

Во второй половине XIX века было найдено, что основные действия логики высказываний – конъюнкция, дизъюнкция, отрицание,… – могут быть представлены арифметическими операциями в кольце Z₂ вычетов по модулю 2. Именно, представив значения истинности И и Л как 1 и 0, нетрудно проверить, что значение истинности составного высказывания рÚq равно сумме значений истинности исходных высказываний, взятой по mod 2, значение истинности высказывания рÙq равно произведению значений истинности исходных высказываний, взятому по mod 2, значение истинности высказывания Øр равно дополнению до 1 значения истинности исходного высказывания р. Таким образом, основные действия логики высказываний моделируются операциями сложения, умножения, вычитания в Z₂.

Введение этой математической модели значительно упростило нахождение значений истинности сложных высказываний, которое свелось к элементарным арифметическим вычислениям, вдобавок использовавшим только числа 0 и 1. Прежние таблицы истинности заменились правилами сложения и умножения по mod 2. Логические законы стали представляться алгебраическими тождествами в кольце Z₂-вычетов, а их проверка свелась к арифметическим подсчётам.

Логический вывод как выделение части

Логический вывод может быть представлен как переход к части; на геометрических моделях кругов – как переход от круга к другому кругу, находящемуся в нём[5].

Математическая модель синтеза

Теория синтеза пока ещё не разработана с такой же строгостью как теории логики высказываний и предикатов, для которых имеется ряд правил вывода; притом представленных в виде математических формул (для логики высказываний). Возможные математические модели синтеза:

· Выделение из представляющих набор сходных понятий графов общей части (подграфа).

· Склейка границ частей. Синтез из накопления сходных понятий или связей (суждений) можно представлять как сжатие этого накопления состояний с изменением его топологии: склейкой границ фигур, представляющих эти понятия. Как "склейку границ" можно, видимо, рассматривать и производимую при синтезе замену конкретной меняющейся области (понятия,…) на переменную, "пустую". Возможно, любой синтез можно математически представить как изменение топологии типа склейки. Возможно, что при сближении частей накопления до некоторого малого критического объема склейка производится автоматически².

Общество

Социальная архитектура-геометрия

Применение математики в политике

Политика – это управление социумами. Оптимальная, ставящая своей целью достижение длительного устойчивого процветания общества, политика должна использовать точный расчёт, подгонку, согласование целей различных социальных слоев; балансировку общественных отношений. Такая политика напоминает архитектуру: построение гармоничного общества из отдельных личностей и их групп аналогично построению красивого и устойчивого здания из камней. Политика может быть образно названа социальной архитектурой. Основой же архитектуры является математика, в частности и в особенности её геометрические разделы. Архитектор может строить дом и "на глазок" но, очевидно, что он получится хуже – менее красивым, менее устойчивым, менее удобным – чем дом, предварительно спроектированный с использованием чертежей и расчётов. Аналогично и оптимальная социальная архитектура/ политика, для решения своей главной задачи – устройства гармоничного, устойчивого, процветающего общества – должна использовать интеллектуальные, следовательно, математические рассуждения, расчёты, методы.

Далее, математика применяется в коммерции, экономике. Знание математики, математическое образование необходимо для успешной финансовой деятельности. Политика же является концентрированным выражением экономики. Поэтому хорошие политики, "концентрированные экономисты", должны быть и хорошими математиками.

Далее, социальные группы действуют в пространстве и времени; таким образом, по крайней мере, в этом отношении их деятельность может быть представлена числами и фигурами – выражена математически.

Наконец, оптимизации социального устройства содействует дисциплинирование интеллекта математикой. "Математику уже затем знать надо, что она ум в порядок приводит" (Ломоносов). "Для государства ничего не имеет такой воспитательной силы как занятие числами" (Платон).

Итак, применение математики может быть эффективно в политической практике.

Математики и политика

Математики проявляли теоретический и практический интерес к политике- социальной архитектуре во все времена, начиная с античности. Пифагор (–VI в.), первый математик древней Греции, основал в городе Кротоне (Южная Италия) религиозно-философский союз, одной из целей которого было улучшение общественного устройства. Пифагорейцы принимали участие в политической жизни южноитальянских греческих городов. Для одного из них Пифагор по просьбе местных жителей составил законы. Пифагореец Лизис (–V в.) был учителем Эпаминонда, фиванского политического деятеля, и Дамона, советника афинского политика Перикла. Пифагореец Архит (–V в.) длительное время стоял во главе южноитальянского города Тарента; пользовался значительным влиянием во всем эллинском мире.

Арабоязычные философы и математики аль Фараби (X в.), Насирэддин Туси (XIII в.) и другие занимались изучением вопроса о справедливой, т.о. устойчивой организации общественных отношений.

С возрастанием с эпох Возрождения- Просвещения значимости интеллектуальных методов в жизни общества, повысилось и применение математических методов, участие математиков в политике. Выразительные примеры этого дала Французская революция. Среди её видных деятелей был ряд крупных математиков: Монж, Карно, Кондорсе и другие. Французские математики продолжали принимать активное участие в политической деятельности и после Термидора; при правлении Наполеона: опять-таки Монж, Карно, Фурье, Лаплас, ...

Примеры участия математиков в политике доставила и Россия. Видный политический деятель конца XIX - начала XX вв. С. Витте, министр финансов, затем председатель Комитета министров – математик по образованию. Его предшественник на посту министра финансов Вышнеградский – также математик. Премьер-министр П.А. Столыпин – выпускник физико-математического факультета Санкт- Петербургского университета. Софья Ковалевская – не только получила известность за свои математические работы, но и написала политический роман "Нигилистка", запрещённый в своё время в России; её сестра участвовала в движении коммунаров.

Многие современные российские математики также проявляют интерес к политике, участвуют в союзах и движениях, имеющих целью лучшее (по их мнению) переустройство общества. И. Шафаревич, Г. Зюганов, И. Мельников и ряд других общественных, политических деятелей Российской Федерации – профессиональные математики.

Математика в проектах идеальных государств

Устройство "идеального государства" Платона (–IV в.) было подчинено математическим образцам, а возглавляли его математики.

Аль Фараби (X в.), Насирэддин Туси (XIII в.) в своих учениях о "добродетельном городе"/ наилучшем общественном устройстве использовали математико-политические идеи пифагорейцев и Платона.

"Город Солнца"- идеальное государство Т. Кампанеллы (XVI в.) основали "брахманы-пифагорейцы"; на его стенах изображались математические фигуры, "были там и определения, и теоремы".

Сен-Симон (XIX в.) предлагал поставить во главе всемирного государства математиков.

Цифрократия глобального общества

В современном мире постоянно возрастает применение математики в социальном управлении. Создаются компьютерные банки данных на граждан, группы, организации. Математические методы используются при решении задач экономики, социологии. В. Купцов: "Одна из наиболее примечательных черт современной науки – всё возрастающее применение математических методов... пожелания, вначале весьма общего характера использовать математику во всех областях культуры сегодня во многом воплотились в жизнь"[6]. Н. Амосов: "Точные науки поглотят психологию и теорию познания, этику и социологию… не останется места для рассуждений о духе, сознании, вселенском Разуме, даже о добре и зле. Всё измеряемо и управляемо". Математические методы применяются в пропаганде, для манипулирования сознанием. Социолог С. Кара-Мурза: "Было осознано влияние на мышление людей количественной меры, числа… Идеологическая сила числа многократно возрастает, когда оно связано в математические формулы и уравнения… Говорят даже о мистической силе математических формул". Культуролог М. Фуко: "Язык точности (язык чисел) совершенно необходим для господства посредством идеологии".

Современный религиозный философ В.Н. Тростников полагает, что формирующееся глобальное общество Запада (и всего мира) будет цифрократией; управлением людьми с помощью чисел. "Эта система сделает человека подчиненным цифрократии… Цифровая природа этой власти будет стремиться всё больше менять природу человека в сторону уподобления роботу".

Пифагорейская политическая теория и практика

Введенная Пифагором доктрина о математической структуре реальности, "Всё есть число", подразумевала, что и управлять наилучшим образом реальностью, в частности, социумом, могут математики.

Пифагорейцы обратили внимание на упорядочивающее и гармонизирующее применение математики – счёта, измерения, взвешивания – в экономических, а значит и политических отношениях. "Открытие счёта способствовало прекращению распрей и увеличению согласия, так как после того этого исчезло обсчитывание. На основании счёта мы заключаем договора между собой" (пифагореец Архит).

Пифагор и его последователи не только в теории, но и на практике пытались реализовать "наилучшее правление математиков".

Пифагорейская политика в Южной Италии

Согласно античным источникам, около –535 года в городе Кротоне (Южная Италия) греческий математик и религиозный реформатор Пифагор организовал школу, точнее, союз. Желавшие вступить в него проходили трехлетний испытательный период.

Союз пифагорейцев имел две степени посвящения. Некоторые знания сообщались всем ученикам, другие – только внутреннему кругу. "Одни назывались математиками, то есть, познавателями, другие акусматиками, то есть, слушателями" (Порфирий).

Видимо, пифагорейцы низшей степени посвящения лишь следовали определённым правилам и получали этические наставления. На высшем уровне изучалась математика и религиозно-философские доктрины (перевоплощение душ, циклический характер Космоса,...).

В пифагорейском союзе имущество отдавалось для "общего пользования". "Его ученики сносили добро воедино" (Диоген Лаэртский). Открытия школы – интеллектуальное имущество – подобным же образом считались общими; вариант: приписывались Пифагору.

Пифагорейский союз во время своего расцвета достиг большого влияния и популярности. "От этих занятий вся Италия ("Великая Греция") наполнилась философами ...". "Пифагор ... прославился вместе со своими учениками... числом около трехсот" (Диоген Лаэртский). Ямвлих приводил список 235 членов пифагорейского союза.

Пифагорейцы активно участвовали в политической жизни греко-италийских городов. "Пифагор, установив законы для италийцев ... со своими учениками ... прекрасно заправляли политическими делами" (Диоген Лаэртский).

Вскоре под властью пифагорейского союза оказался Кротон и почти все другие греческие полисы Южной Италии. "Целые города вверяли себя его ученикам" (Порфирий). "Некоторое время каллокагатия <правление хороших граждан> пифагорейцев и предпочтение, отдаваемое им, имели перевес, так что государственными делами правили они" (Ямвлих).

В самом Кротоне правление союза, вероятно, было прямым, в других городах оно могло принимать характер влияния участвовавших в правительстве пифагорейцев. "Пифагорейское влияние оказывалось также через "гетерии", политические клубы, которые в Великой Греции были олигархически настроенными" (Philips)[7].

Однако итог занятий политикой был для пифагорейцев неудачным. "В конце концов против них сложился заговор" (Порфирий). "В тех областях Италии, которые тогда назывались Великой Грецией, в удобный момент подожгли дома собраний пифагорейцев … повсеместно произошли государственные перевороты" (Полибий).

"Повсюду тогда вспыхивали великие мятежи, которые и поныне у историков именуются пифагорейскими" (Порфирий).

"Товарищества пифагорейцев пали по городам Италии, а все ещё организованных в союз пифагорейцев Метапонта килоновцы обложили огнем ... уничтожили всех, кроме Филолая и Лизиса ...".

Пифагор, видимо, тоже погиб во время переворота.

Пифагорейцы Филолай и Лизис перебрались в Фивы. Позже Филолай вернулся в Италию, в Тарент, где стал учителем Архита, долго возглавлявшего этот город (2 пол. –V в.). У Филолая учился и Платон.

Политико-математическая теория и практика Платона

Платон, последователь пифагорейцев, представил в диалогах "Государство", "Законы" проект наилучшего общественного устройства. Социальная архитектура его государства подчинялась определённым математическим образцам, использовавшимся Платоном для описания физического Космоса. Правили в нём философы, изучившие арифметику, геометрию, музыку, астрономию – то есть математики, посвящённые пифагорейцы. Проект упорядочивания- космизации социума и этики излагался Платоном и в диалоге "Тимей", где образцом разумного поведения предлагалось считать закономерное движение небесных тел. "Мы … могли бы организовать порядок в нас самих, по аналогии с обращением светил, неспособном совершать ошибки" ("Тимей"). Платон считал, что только знающие математику могут правильно судить о таком ключевом для оптимального управления обществом понятии как справедливость: "никто, не познав числа, не сможет обрести истинного мнения о справедливом …" ("Государство"). Он также высказал мнение, что занятия математикой способствуют улучшению нравов в обществе: "Для государства ничего не имеет такой воспитательной силы как занятие числами".

Как и ранние пифагорейцы, Платон, пытался осуществить разработанный им социальный проект на практике, и также неудачно. Дионисий, правитель Сицилии, которого Платон пытался убедить реализовать предлагавшиеся им принципы общественного устройства в своей стране, едва не казнил философа. (Спас Платона от смерти пифагореец Архит, влиятельный политический деятель).

Пифагор, Платон и социализм

Проекты общественного устройства, разработанные в пифагорейско-платонической системе, оказали значительное влияние на теорию и практику социализма. Например, в сочинении "Город Солнца" утопического социалиста Кампанеллы имелось много заимствований из Платона, притом с сильным пифагорейским акцентом: "город Солнца" основали брахманы-пифагорейцы; свою книгу "Мудрость" они читали "согласно пифагорейским обрядам"; в "Городе" была введена общность жён, которую настойчиво рекомендовал Платон. Кампанелла (кстати, уроженец южной Италии, где практиковали Пифагор и Платон) ссылался на Платона, писал сочинения о пифагорейцах.

Сен-Симон, придававший в своём проекте идеального общественного устройства особенное значение математике, также считается одним из основателей утопического социализма.

Некоторым теоретикам и практикам социализма оказались особенно близки высказывавшиеся Платоном, в диалоге "Законы", мысли о регламентации правительством всех сторон жизни общества.

Различные варианты реализовавшегося на практике социализма также напоминали пифагорейско-платонический проект: узкий круг посвящённых, почти неизвестных основной части населения (которое, впрочем, иногда одобряло их деятельность на символических выборах или референдумах); общая собственность[8]; даже, иногда, пифагорейская символика: пентаграмма, циркуль и угольник.

Математики и Французская революция

Среди деятелей Французской революции было немало крупных учёных, в том числе математиков: Монж, Карно, Кондорсе и другие. Гаспар Монж (1746 - 1817 гг.) специалист по вариационному исчислению и начертательной геометрии, преподаватель Политехнической школы, был активным участником революционного движения. В 1792 году он занял в правительстве пост морского министра. В день подписания смертного приговора Людовику XVI Монж исполнял обязанности президента Французской республики. Лазарь Карно (1753 - 1823 гг.), математик по образованию и автор ряда математических трактатов, был членом Комитета общественного спасения. В 1790-х гг. он немало сделал для организации обороны революционной Франции от внешнего вторжения; получил прозвище "организатор побед", спасшее его от казни после Термидора. Активное участие в революции принимал математик Кондорсе (1743- 94 гг.), автор ряда сочинений по проблемам интегрального исчисления, теории вероятностей, механики; учёный секретарь Парижской Академии наук. В революционном парламенте он был докладчиком по проекту Конституции. Кондорсе составил план реорганизации образования во Франции, по которому предусматривалось преподавание в старших классах и в вузах методов применения математики к моральным и политическим проблемам. Современник революционных событий Жозеф де Местр писал: "Слишком многие из французских учёных оказались главными творцами Революции". Прусскому королю Фридриху II приписывалось сделанное незадолго до революции удивительное предсказание: "Франция будет республикой, управляемой математиками на основе дифференциального исчисления".

Впрочем, и сама Французская революция была во многом обусловлена изменением мировоззрения общества, распространением в нём, сначала среди учёных, а потом и в более широких кругах, "религии Разума". Начиная с 1730-х гг. во Франции активно популяризировались математика и астрономия. Научные темы обсуждались в салонах. "У каждой женщины вместо пажа появился свой математик". Интерес к математике проявил ряд аристократов: герцог Роган, шевалье де Мере. Маркиза дю Шатле, ученица математиков Мопертюи и Клеро, переводила и комментировала "Математические начала" Ньютона. Теорию Ньютона пропагандировал Вольтер, рассматривавший её как инструмент борьбы против католической церкви. "Вольтер – первый популяризатор мировоззрения Ньютона, сделал ньютонизм достоянием широких общественных слоев" (К.Н. Державин). Математик Даламбер редактировал выходившую в 1751- 72 гг. "Энциклопедию", популяризировавшую достижения науки и одновременно имевшую антицерковный и антимонархический характер. Таким образом, французские учёные, особенно математики, участвовали не только в революции 1789 года, но и в её идеологической подготовке.

Французские математики продолжали принимать активное участие в политической деятельности и после Термидора. Карно при Директории сначала руководил военным управлением; в 1796- 97 гг. был президентом Директории. Он же содействовал выдвижению Наполеона; во время его консульства занимал должность генерал-инспектора армии; а в период "ста дней" – министра внутренних дел. После отречения Наполеона Карно получил наибольшее число голосов депутатов Национального собрания при выборе главы правительства, однако всё же не занял эту должность. Во времена неоднократных вынужденных перерывов своей политической деятельности Карно написал философско-математический трактат "Размышление о метафизике бесконечно малых" (1797 г.), работы по геометрии (1800-е гг.). После своего окончательного ухода из политики, Карно занялся математикой. Монж также не оставил политическую деятельность после Термидора. Он был комиссаром Директории в Италии, где отбирал среди имущества, захваченного войсками Наполеона, наиболее важные ценности культуры. После падения Директории Монж стал советником Наполеона. В 1803 г. этот бывший пламенный революционер и якобинец стал графом и вице-президентом сената. Фурье, автор трактата "Математическая теория тепла", участвовал в египетском походе Наполеона; был французским комиссаром при египетском правительстве. В 1802 г., после возвращения во Францию, он занял должность префекта департамента Изера. Крупный специалист по дифференциальному исчислению Лаплас был при Наполеоне министром внутренних дел.

Итак, видные математики Франции активно участвовали в подготовке революции 1789 года, в ней самой, а также занимались политической деятельностью и после Термидора.

Красота

Исчисление красоты

Ещё в античности было замечено, что при определённых числовых соотношениях длин струн музыкального инструмента образуются приятные для слуха сочетания звуков. И обратно, отклонение от этих канонических числовых соотношений вызывает ощущение диссонанса, неблагозвучия, какофонии. Также в античности было замечено, что красивые вещи, природные или созданные человеком, зачастую обладают определёнными размерами и формами. И обратно, отклонение от соответствующих канонических размеров и форм вызывает ощущение безобразия, некрасивости, уродства. Отмечалось, что впечатление красоты объектов вызывают такие числовые соотношения и сочетания частей, которые превращают их в единый объект – гармонию[9]; например, гармоничность форм растений или живых существ определяется пропорциональностью сочетаний их частей. "Красота тел – гармония частей" (Гален). Впечатление красоты вызывает и такое свойство форм объектов как симметрия – инвариантность относительно некоторой группы движений. "Симметрия порождает красоту" (Плотин).

Пифагорейцы (–VI в.), одними из первых открывшие примеры исчислимости созвучий и гармоний, попытались дать ей теоретическое объяснение: числа/ их отношения являются причинами красоты. Это объяснение, по сути, являлось следствием основного пифагорейского тезиса числа являются принципами вещей: поскольку красота определяется целесообразностью и эффективностью в физическом мире, то она также должна быть подчинена математическим принципам. Средневековые католические философы (Фома Аквинский и др.) считали, что красота, благо, истинность, бытие являются разными сторонами или проявлениями одного и того же.

Установление математической выразимости, по крайней мере частичной, красоты в Природе повлекло за собой попытки поиска соответствующих числовых и геометрических канонов – пропорций, сочетаний форм, симметрий, … – для применения их в разных видах художественного творчества.

Античные скульпторы искали канонические числовые отношения для красивого человеческого тела. Греческий скульптор Поликтет (–V в.), как считается, выразил такие отношения в статуе "Дорифор". Числовым соотношениям подчиняли свои произведения и строители античных храмов, что заметно, например, на афинском Парфеноне. По оценке архитектора Л. Альберти, классические сооружения античного Рима строились, следуя среднему арифметическому, геометрическому или музыкальному отношениям.

"Дорифор Парфенон: пропорциональность греческих храмов

В эпоху Возрождения поиски математического выражения канонов искусства предпринимали архитекторы, скульпторы, художники: Л. Альберти, составивший "10 книг об архитектуре" (1444- 50 гг.); А. Дюрер, написавший "Руководство к измерению циркулем и линейкой" (1525 г.), "Четыре книги о пропорциях человека" (1528 г.); Леонардо да Винчи и другие.

Изучением математических канонов, внедрённых в Природу, и их реализацией в искусстве занимались и математики. В этом отношении особенно популярными были пять правильных многогранников и золотое сечение. Математик и художник Пьетро делла Франческо (1415- 92 гг.) составил трактаты "О перспективе в живописи", "Книжица о пяти правильных телах". Его ученик Лука Пачиоле (1445 - 1515/7 гг.), профессор математики ряда итальянских университетов, составил трактат "Божественная пропорция" (1508/9 г.), посвящённый изучению свойств золотого сечения и примерам его проявления в Природе. Иллюстрации к трактату Пачиоле нарисовал Леонардо да Винчи.

Пифагорейская теория эстетики: "числа и фигуры – причины красоты"

Открытое Пифагором или заимствованное им из халдейских источников числовое выражение музыкальных интервалов – октавы, кварты, квинты – послужило основанием для утверждения в среде ранних пифагорейцев представлений о математической выразимости гармоничности, красоты. "Можно наблюдать природу чисел ... в музыке, искусстве ..." (Филолай). "Искусство не существует вне соразмерности, соразмерность же <по мнению пифагорейцев> покоится в числе" (Секст Эмпирик). Платон, излагавший взгляды пифагорейцев, писал: "Почти все беспорядочное, безобразное, причастное плохому ... лишено какого бы то ни было числа" ("Послезаконие"). "Искусство без измерения и исчисления – малосущественно" ("Филеб"). Сходным образом выражался и Аристотель, его ученик, очевидно, также следовавший в этом пифагорейцам: "Порядок и симметрия прекрасны и полезны, беспорядок и асимметрия безобразны и вредны. … Важнейшие виды прекрасного – слаженность, соразмерность, определённость …".

Пифагорейцы считали, что математическое познание красоты, в частности, числовых гармоний в музыке, давало знание причин красоты; переводило уровень её восприятия с чувственного на интеллектуальный. "Пифагорейская музыка различает гармонию разумом, а не ощущением, а вульгарная музыка различает слаженное и неслаженное только ощущением. Поэтому толпа знает лишь факт, что гармония созвучна, а математики знают причину, по которой она созвучна" ("Схолии ко 2 "Аналитике"). "Никто, не познав числа, не сможет обрести истинного мнения о прекрасном, …" (Платон).

Утверждения о математической выразимости красоты, об эффективности применения математики в искусстве высказали в дальнейшем как мастера разных видов художественного творчества, так и философы- платоники, неопифагорейцы, неоплатоники. Греческому скульптору Поликтету (–V в.) приписывалось утверждение: "всё упорядочивается и познаётся благодаря силе чисел". Римский архитектор Витрувий (+I в.): "Композиция храмов основана на соразмерности. Соразмерность возникает из пропорции, которая по гречески называется аналогия… Искусства, которые нуждаются в исчислении и иных методах математики, обладают неким величием, всё же остальное, лишенное этого искусства, низменно и презренно". Врач Гален (+III в.): "Красота тел ... – пропорция частей". Философ-неоплатоник Плотин (+III в.): "Симметрия ... производит красоту". Философ Давид Анахт (VI в.): "Музыка образуется из прерванного количества, взятого во взаимной связи". Философ аль Кинди (IX в.): "Наука гармонизации заключается в представлении отношения и присоединении одного числа к другому". Философ аль Фараби (X в.): "Алгебра и геометрия проникают во все искусства". Энциклопедия "Братьев Чистоты" (X в.): "Красота природных предметов зависит от пропорции их строения и гармоничного расположения частей". Философ ибн Сина (XI в.): "Музыка есть математическая теория, в которой изучаются тона с точки зрения их созвучия и несозвучия". Философ Иоанн Петрици (XII в.): "Всякое музыкальное украшение ... происходит из чисел".

Начиная с европейского Ренессанса, такие мнения стали высказываться всё чаще. Архитектор Л.Б. Альберти (XV в.): "Красота есть некое согласие и созвучие частей в том, частями чего они являются – отвечающие строгому числу, ограничению и размещению, которых требует гармония, то есть абсолютное и первичное начало природы … Три вещи более всего влияют на красоту и гармонию зданий: число, фигура и размещение". Барбаро, комментатор архитектора Витрувия (XVI в.): "Такова сила пропорций, что ничто не может доставить удовольствие слуху, зрению или другим чувствам без соответствия и согласия отношений... только тогда голоса и звуки радуют и удивляют душу при посредстве слуха, когда они находятся в пропорциональном соответствии друг с другом. Изобретения людей тем совершеннее, чем искуснее они подчиняются закону пропорции. Великая вещь соблюдение пропорций при составлении лекарств … Трудно назвать что-либо, имеющее столь же широкую власть в мироздании как согласие веса, числа и меры". Математик и герметик Джон Ди (XVI в.): "Нет искусства без пропорции, пропорция основана на числе, таким образом, всё основано на числе – то, что есть математическое, есть и божественное, и обратно, соединение обоих создает красоту". Математик и астроном Иоганн Кеплер (XVII в.): "Геометрия есть первообраз красоты мира".

Математизация музыки в древних культурах

Вавилон

Ямвлих (+IV в.) приписывал древним (впрочем, неясно какого периода) вавилонянам знание музыкальной пропорции 12:9 = 8:6, содержавшей в себе основные музыкальные интервалы, кварту (4:3 = 12:9), квинту (3:2 = 12: 8) и октаву (2:1 = 12:6): "Полагают, что гармоническая пропорция – изобретение вавилонян".

По сообщению Плутарха Херонейского (+I - +II вв.) халдеи сопоставляли музыкальные интервалы сезонам года: весна → тоника (1); лето → октава (2:1); осень → кварта (4:3); зима → квинта (3:2). (Это можно также рассматривать как сопоставление сезонам чисел: весна → 6, лето → 12, осень → 8, зима → 9; то есть, как ту же самую музыкальную пропорцию). Из текста Плутарха, впрочем, как и из текста Ямвлиха, было неясно, к какому времени относились его "халдеи".

Пифагорейцы

Пифагору приписывалось открытие или введение в Греции числового представления основных музыкальных интервалов кварты (4:3), квинты (3:2), октавы (2:1). Музыка как предмет включалась в пифагорейскую математику. В античности на первое место среди достижений пифагорейцев нередко ставилась их музыкальная теория; "… музыкант Пифагор …" (Боэций).

Последователи пифагорейцев также постоянно проявляли интерес к музыкальной теории и практике. Математики Архит, Эвклид, Птолемей, неопифагореец Никомах писали трактаты по музыке.

Китай

В трактате Люйши чуньцю (–III в.) была зафиксирована китайская математическая теория музыки. Музыкальная шкала строилась, начиная от основного звука, называвшегося хуан чжун ("желтый колокол"), через 2/3 или 4/3 тона, т.е., движением на квинту вниз, с возвращением, если потребуется, в октавный диапазон умножением на 2; что реализовывалось соответствующими длинами трубок. На 12 шагу получалась (почти) октава и эти 12 звуков, люй, составляли основной музыкальный ряд. Из него выделялись 5 первых звуков ("пентатоника"); от каждого из которых также можно было строить 12 люй.

12 люй упоминались в текстах эпохи Чжоу, в Ши цзине ("Книге песен"), в Го юй ("Речи царств") и других древних сочинениях. Из них выбирались 5 звуков (пентатоника). В эпоху Чжоу использовались 7 звуков. Считается, что система 12 люй сложилась уже в эпоху Чжоу, а пентатоника была известна в конце –II тыс. Наиболее раннее упоминание о 5 звуках встречалось в тексте Гуань цзы. (Аналогичное и синхронное развитие 5- и 7- тонной музыки имело место в Халдее).

Религия

Применение математики в религии

Математика является языком, на котором описывается окружающий мир, притом весьма эффективно – что показывает её применение в науках. Можно использовать этот язык и для рассуждений о божественном; иллюстраций, с его помощью положений религии[10].

Математика использовалась таким образом с древности. Уже в Шумере- Вавилоне с богами связывались, выражая некоторые представления о них, числа и фигуры. Пифагорейцы (–VI в.) сочли математический язык наилучшим для изложения теологических доктрин своей системы[11]. Математические образы использовались для иллюстрации и христианской теологии, притом с самого раннего времени. Это было тем более обосновано, что, по Библии, "Бог всё устроил числом, весом, мерой" ("Книга Притч").

Связи математики с религией не исчерпываются её иллюстративно-языковыми возможностями. Прежде всего, в пифагорейской школе утверждалось, что демиург устроил мир (Космос) по математическим образцам и, соответственно, изучение математики представлялось пифагорейцами как познание деятельности демиурга, его инструментальных методов. Эти положения были повторены платониками.

Далее, имеются определённые аналогии между математикой и магией. Применение математики напоминает магическое действие: написал формулу (как бы "произнес заклинание") – построил математическую модель – и решил задачу, достиг цели. Эффективные математические модели физических вещей аналогичны магическим истинным именам, дающим власть над этими вещами. Математические законы Природы аналогичны именам духов, вызывая которых, по представлениям магов, можно командовать ими.

Далее, математика с древности применялась в разных видах магии. Составленные из чисел и фигур объекты использовались в астрологии, алхимии, каббале. Среди астральных талисманов имелись математические магические квадраты. С помощью математикоподобных амулетов или заклинаний вызывались демоны. Оккультисты Ренессанса считали математику способом общения со сверхнебесным миром. Больше того, в ряде религиозно-философских систем математика рассматривалась как вид магии. В пифагореизме утверждалось, что занятия математикой ведут к переходу в состояние дайэмона, то есть, математика, по сути, рассматривалась пифагорейцами как высшая магия. В Ренессансе XV-XVI вв. были популярны представления, что математика является особым видом магии, математической магией; или даже основой всех видов магии.

Далее, в представлениях ряда религиозно-философских систем утверждалась, в той или иной форме, связь математики и демонов. По античным мифам часть знаний, в том числе математических, передали людям боги/ демоны (Прометей, Гермес, Тот,…). По шумерской легенде некогда из Эритрейского моря (Персидский залив) явился получеловек- полурыба, обучивший людей наукам и искусствам. Герметическая концепция древней мудрости утверждала, что знания древнего Египта и Вавилона (в т.ч. математические) происходили от погибшей цивилизации; передавались людям демонами или полубожественными культурными героями. В христианстве утверждалось, что демоны обладают знаниями, сохранившимися у них, несмотря на падение, и могут передавать эти знания людям, которых хотят вовлечь в свои дела. В античном пифагореизме и неоплатонизме с богами и демонами соотносились математические объекты. По представлениям неоплатоников Ямвлиха, Сириана и других математические объекты – это дайэмоны; особого, высшего вида. Фактически математика в пифагореизме- неоплатонизме могла быть интерпретирована как высшая демонология. Математика тесно связывалась с демонами в представлениях ренессансных оккультистов: многие из них рассматривали математику как вид магии; то есть, по определению, как один из способов воздействия на демонов или общения с ними. Математика связывалась с магией и демонами не только оккультистами, но и в общественном мнении; особенно в тот же период Ренессанса; например, доминиканец Каччини, оппонент Галилея, полагал, что "математика – изобретение дьявола". Сегодня также нередко встречаются утверждения, что демоны оказывают влияние на математику (и математиков); что занятия математикой ведут к изменённым состояниям сознания.

Итак, математика с древности использовалась как для иллюстрации положений различных теологий, так и для достижения целей тех или иных религиозных систем.

Исчисление богов в древних культурах

Вавилон

В шумеро-вавилонской культуре некоторым богам (или соответствующим явлениям природы, космическим силам) были сопоставлены числа и фигуры: Ан → 60, Энлиль → 50, Ки → 40, Нанна → 30, Инанна → 15. Инанна часто связывалась, в мифах, также с числом 7. Число 7 участвовало в религиозных запретах – предписаниях не готовить пищу, не заниматься делами в 7, 14, 21, 28 дни месяца. Инанна и все боги (an) обозначались 8-конечной звездой.

Причиной соотнесений боги – числа/ фигуры было, вероятно, исчисление соответствующих явлений природы. Например, сопоставление Ан (Небо) → 60, видимо, обуславливалось использованием 60-чной системы для счёта времени. Нанна (Луна) → 30 – приблизительно число дней в лунном месяце. Выделенная религиозная роль числа 7 могла быть связана с тем, что 7 дней составляли фазу Луны – одного из главных божеств в религии Шумера- Вавилона; кстати, названия фазы Луны и числа 7 совпадали: sabbatum (в аккадском). Кроме того, имелось 7 планет-богов, видимых невооружённым глазом.

Сопоставления богам чисел имели определённую связь и с мифологией. Например, соотнесение триаде Ан (Небо) → 60, Энлиль (Воздух) → 50, Ки (Земля) → 40 согласовывалось с шумерским мифом о порождении Ан и Ки (Небом и Землей) Энлиля (Воздуха): (60 + 40)/ 2 = 50, и со срединным положением Воздуха, между Небом и Землей. Связь в мифах Энлиля-Мардука и Инанны-Иштар отражалась в связи сопоставленных им чисел: 50 = 10*5, 15= 10 + 5.

Таким образом, в шумеро-вавилонской культуре, на самом раннем этапе её развития, имелись связи богов/ космических сил/ явлений природы с математическими объектами, числами и фигурами, притом обусловленные исчислением соответствующих явлений.

математика и астрономия; астрология

Астральные боги-планеты исчислялись также при математическом представлении результатов их наблюдений, при составлении календаря (движения Солнца и Луны), при предвычислении (предсказании) небесных явлений. Математическая астрономия активно развивалась в древнем Вавилоне.

Важной частью халдейской культуры была астрология – гадание о будущем по состоянию "божественного" неба. Ранние астрологические методы использовали явления-предзнаменования, более поздние – гороскопы. При составлении гороскопов производились расчёты. Гороскопная астрология стала характерной особенностью вавилонской культуры; в античности слово халдей часто было синонимом астролога.

божественный прообраз математики

Сопоставление небесным объектам или явлениям природы чисел и фигур; применение математики для записи результатов наблюдений небесных тел, для исчисления календаря (движения Солнца и Луны) можно было бы представлять, в астральной религии Вавилона, как "исчисление божеств"; некоторое их математическое познание. Использование чисел для записи результатов астрономических наблюдений, астрологических расчётов, превращало вавилонскую математику в язык для описания божественного. Таким образом, математика в вавилонской культуре давала "образы божественного (небесного мира)", а сама религия, соответственно, представляла собой "звёздный прообраз" математики.

Изучение небесных тел-богов можно было бы рассматривать также как вид их почитания. (Ср.: "логическое исследование Всевышнего является формой его почитания" (индийский логик Удаяна).). Знания о планетах и звёздах, как знания о божествах, имели созерцательно-божественный, "теоретический" характер (тео, на греческом – божество). Это в особенности относилось к тем знаниям, которые не имели прямого практического применения, например к наблюдениям Венеры, которые, как заметил ван дер Варден, "ничего не давали для земледелия".

Связь математики с религией в Вавилоне стимулировала развитие как самой математики и математической астрономии, так и внедрение числовых образцов, соответствующих богам, в предметы физического мира, что превращало их в своего рода талисманы. (Талисман в магии – объект, притягивающий влияние определённых духов.).

реализация божественных образцов

Храмы Шумера- Вавилона строились в соответствии с числам, сопоставленными богам. Например размеры зиккурата Ура (9*6 gar) соответствовали пропорции Небо:Земля = 60:40 = 3:2, и, одновременно, числу Инанны 15 (9+6=15). Постройки вавилонского периода также реализовывали "божественные" числа и их отношения, например, размеры дворца Навуходоносора 900:600 (= 3:2) соответствовали пропорции Небо:Земля; размеры Вавилонской башни составляли 15*15*15 gar (gar – шумерская единица длины; приблизительно 6 метров).

Индия

Важным применением геометрии в древней Индии была постройка алтарей. Для достижения определённых практических целей брахманская религия предлагала строить алтари данного, строго фиксированного размера и формы. Например: "если хотите достичь цели Х – постройте алтарь, имеющий форму, такую же, как алтарь Маха-Веди, но площадь втрое большую". Религиозные тексты утверждали, что даже незначительные отклонения от предписанных размеров и форм алтарей аннулируют эффект ритуала.

Три основных ведийских алтаря, Три огня, построение которых описывалось в Шульба-сутрах, упоминались еще в Риг Веде. Правила их построения там не давались, но говорилось, что для этого есть специалисты. Размеры и формы некоторых алтарей приводились в Шатапатха Брахмане (усл. –2000 - –600 гг.), Тайттирия Самхите. Там же упоминались и геометрические фигуры, связанные с построением алтарей, в частности, пифагорейские треугольники. "Прослеживая историю треугольника (15, 36, 39) < = 3*(5, 12, 13)> мы впервые встречаем его в Майтрайане Самхите, Шатапатха Брахмане. Упоминались только 15 и 36 но не 39"[12].

Три основных алтаря, на которых должны были совершаться обязательные жертвоприношения, указанные в Ведах, имели форму круга, квадрата, полукруга и одинаковую "каноническую" площадь, равную 7.5 кв. purusa. Алтарь Маха-Веди, использовавшийся для жертвоприношений Сомы, должен был иметь форму равнобедренной трапеции с данными основаниями и высотой: a=30, b=24, h=36 padas. Алтари для жертвоприношений типа Kamya-agni имели форму сокола, колеса, черепахи, ромба и т.д., и "каноническую" площадь.

Нетрудно видеть, что размеры Маха-Веди были специально подобраны так, чтобы в нем содержались 2 первых пифагорейских треугольника: Δ AIG = (15, 20, 25) = 5*(3, 4, 5); Δ ARG = (15, 24, 39) = 3*(5, 12, 13).

В дальнейшем многие математические понятия, теоремы, задачи ранней индийской геометрии были развиты для правильного построения требуемых ведийских алтарей.

Китай

В древнекитайской культуре полубожественным силам Небу и Земле были сопоставлены пары чисел 3 : 2 и фигур круг : квадрат. "Совершенномудрые обозначили Небо тройкой, а Землю двойкой" ("Сицы чжуань", усл. –V в.). "Троица отнесена к Небу, двоица к Земле" ("Шогуа чжуань"). "(При гадании) стеблей Неба 216, стеблей Земли 144" ("Сицы чжуань") (216:144 = 3:2). "Небо – круг, Земля – квадрат" ("Сицы чжуань", "Чжоу би" (усл. –X - –I вв.)). Причиной этих сопоставлений было, вероятно, как и в Шумере- Вавилоне, исчисление соответствующих явлений природы. Например, движение небесных тел происходит по кругу; земледельческие поля имеют вид прямоугольников.

математика и гадание

Важной частью культуры Китая эпохи Шан-Инь (–1776 - –1122 гг.) было гадание-обращение к духам предков с вопросами. Для интерпретации "ответов духов" применялись гадательные процедуры, использовавшие вычисления. Ранние методы гадания использовали панцири черепах, более поздние – стебли тысячелистника (50 стеблей). Результатами гаданий являлись гексаграммы – фигуры, состоявшие из шести прерывистой и непрерывной (инь и ян) черт/ вариант: шести чётных или нечётных чисел.

Названия 64 гексаграмм (всех возможных результатов гадания) и комментарии к ним приводились в "Книге Перемен". "Книга" являлась самым древним и авторитетным источником в китайской культуре; её появление относится синологами к –II тыс. Инь и ян черты гексаграмм назывались в "Книге" шестёркой и девяткой, соответственно.

Применение счёта для гадания и чисел-фигур для изображения результатов гадания можно было бы называть исчислением духов, некоторым их числовым познанием. Его аналогом являлось применение математических расчётов и фигур в вавилонской астрологии.

реализация божественных образцов

Математические образцы, упорядочивавшие мир в древнекитайской культуре, как правило, были связаны с "божественными" числами. Например, различные диады моделировала пара чисел (3, 2), сопоставленная Небу и Земле. Их отношение было равно отношению значений ян и инь, упоминавшихся в "Книге Перемен"; 3:2 = 9:6. Часто использовавшееся в древнекитайской культуре число 15 было равно сумме ян и инь (9+6). В храмовой архитектуре Китая также реализовывались эти, связанные с "исчислением божественного", образцы. Например, алтарь Неба в Пекине был составлен из 3 круглых террас, алтарь Земли – из 2 квадратных; размеры которых следовали "небесно-земному" отношению 3:2.

Пифагорейская теология

В пифагореизме математика и религия были тесно связаны:

· По представлениям пифагорейцев и их последователей Космос был устроен демиургом по математическим образцам;

· Занятия математикой, математизация мира рассматривались пифагорейцами как подражание демиургу; как средство очищения души и перехода в более высокое состояние в следующей жизни;

· Пифагорейцы сопоставляли с божествами и дайэмонами числа и фигуры. В неоплатонизме, продолжавшем пифагореизм, математические объекты были отождествлены с дайэмонами.

Построение Космоса по математическим образцам

По представлениям пифагорейцев упорядоченный-оформленный Космос был создан демиургом по математическим образцам. Гиппас (–VI в.): "Число – первый образец творения мира, орган суждения творца мира".

Платоники, неопифагорейцы, неоплатоники поддержали эту концепцию. Платон (–IV в.): "Демиург занимается геометрией". Плутарх Херонейский (+I - +II вв.): "Геометрические Формы охватывают и определяют материю. … Демиург из двух сущностей <Идей-Форм и материи> сотворил Космос как третью сущность ... упорядочил природу смыслом <формой>, мерой, числом".

В неопифагореизме были предложены и математические модели этого космогенеза – создания демиургом Космоса. Плутарх Херонейский сопоставлял порождение Космоса с "порождением" квадрата гипотенузы из квадратов катетов (теорема Пифагора); этот пример прилагался им к треугольнику (3,4,5). Создание Космоса – божественная геометрия – представлялась им и как решение задачи построения фигуры подобной данной и равной по площади другой (= Эвклид VI.25): "демиург создал нечто, подобное Идее-Форме и равное материи".

Математика как средство очищения души и достижения божественного состояния

Занятия математикой, математическое познание мира для пифагорейцев имели смысл созерцания образцов, по которым демиург устроил Космос. Преобразование мира в математический Космос в пифагореизме имело смысл подражания демиургу. Теологический характер математики для пифагорейцев подчеркивался их терминами: "теория", "теорема" и т.д. (тео = божество).

Основной целью в пифагореизме было достижение лучшего воплощения в следующей жизни, или даже переход в состояние дайэмона, в соответствии с их доктриной перевоплощения. "Золотые стихи", датируемые временем распространения неопифагореизма (–II - –I вв.), но составленные, по мнению исследователей, на основе ранних пифагорейских положений, определяли цели так: "исцелишь душу ... вознесёшься в эфир, станешь вечным и смерти не знающим богом". "Главная часть философии Пифагора ... состояла в установлении близких отношений к божеству, общении с ним" (Плутарх Херонейский).

Основными методами достижения этой цели в пифагорейской системе представлялись занятия математикой и философией – "созерцание божественного" и "подражание демиургу". "Отвлекаясь от чувственного, они <пифагорейцы> сосредотачивались на созерцании божественного" (Климент Александрийский). "Медленно и постепенно переводить себя к созерцанию Вечного и сродного ему бестелесного ... для этого он <Пифагор> обращался к математике и иным предметам рассмотрения, лежащим на грани телесного и бестелесного. Подведя таким приёмом к созерцанию сущего, он дарил людям блаженство ... для этого и нужны были ему математические упражнения" (Порфирий). "Математические науки были изобретены пифагорейцами для припоминания о божественном ... посредством математики они пытались обращаться к потусторонним силам" (Прокл). Пифагорейская математика, по Проклу, была введением в теологию: "философия пифагорейцев, пользуясь той же завесой <математическими понятиями>, скрывала вход в таинства божественных учений" (Прокл). "Пифагорейцы полагали, что очищения, а также знание тайн гармонии и чисел, приблизят душу к божеству ... помогут ей освободиться от повторных рождений … они считали возможным достичь очищения души и соединения с божеством при помощи математики" (ван дер Варден). "Это был путь слияния с божественным через постижение гармонии мира" (И. Шафаревич).

Платоники, неопифагорейцы, неоплатоники поддержали пифагорейское представление о познании божественного, очищении души и достижении более высокого состояния в следующей жизни с помощью занятий математикой. Платон: "Геометрия влечет душу вверх … геометрия – это познание высшего бытия". Птолемей: "Математика готовит нас к пониманию божественного … являя упорядоченность, гармонию, она заставляет своих последователей любить божественную красоту, как бы развивая в них аналогичное состояние духа". Порфирий: "Арифметика, геометрия, музыка, астрономия приготовляют душу к созерцанию Вечного Бытия". Прокл: "К области Форм приближаемся через их образы, математические числа… геометрия – посредник между математическим миром и Формами". Платон предложил философам "подражать демиургу"; который "занимается геометрией". Прокл: "Путь к богам начинается с геометрии".

Исчисление богов

Пифагорейцы сопоставляли богам и демонам математические объекты; т.е. строили математические представления античных божеств. В приписываемой Пифагору "Священной речи" бог был назван "числом чисел". Пифагореец Филолай утверждал, что "можно наблюдать природу числа в демонических и божественных вещах ...". "Пифагорейцы прилагали математическое (числа) к богам, их силам, порядку, активности ... находили с какими богами связаны такие-то числа" (Ямвлих). "Пифагорейцы посвящали божествам числа и фигуры" (Прокл). "Они украшали именами богов числа и фигуры" (Плутарх). Пифагорейская математика, по Проклу, "высказывала истины о богах" или "моделировала божественное".

Обоснованием конкретных сопоставлений были аналогии свойств античных богов и свойств соответствующих чисел/ фигур.

"Пифагорейцы нечётные числа и правую сторону относили к богам, чётные и левую сторону – к демонам" (Плутарх). "1 – Аполлон, Прометей, Мнемозина, Протей, ... 2 – Гера, Артемида, Афродита, ... 3 – Латона, Геката, Тритогенея, ... 4 – Гермес, Дионис, Геракл, ... 5 – Афродита, ... 6 – Гармония, 7 – Аполлон, Афина, Клио"[13]. "У пифагорейцев мы находим одни углы посвящёнными одним богам, другие другим. Так, Филолай угол треугольника сопоставлял Кроносу, Аиду, Аресу, Дионису, угол четырехугольника – Рее, Деметре, Гестии.… Угол 12- угольника, по Филолаю, принадлежит Зевсу" (Прокл). "По Евдоксу треугольник сопоставлен Аиду, Дионису, Аресу, четырехугольник Рее, Деметре, Гере, двенадцатиугольник Зевсу. … Угол 56-угольника соответствует Тифону. … Равносторонний треугольник пифагорейцы называли Афиной" (Плутарх).

В неопифагореизме и неоплатонизме пифагорейские сопоставления богов и демонов с математическими объектами были приняты и расширены. Неопифагореец Никомах из Герасы (+I - +II вв.) повторил и дополнил список пифагорейских соотнесений божеств с числами и фигурами. Плутарх Херонейский связывал с божественным пару 5/10. "Обращение к богу – EI <"ты есть">, единственное подходящее для него приветствие, означающее, что он существует <EI = 5/10 в буквенной записи>". "5 то выступает в чистом виде как огонь, то выделяет из себя 10, означающее Вселенную"[14]. Неоплатоник Прокл (V в.): "Геометрия показывает, какие фигуры подобают богам". Неоплатоник Синезий (V в.) называл бога "Числом чисел и Идеей Идей".

Исчисление души.

Пифагорейцы связывали с числами и фигурами также души людей. "Душа облекается в тело посредством числа и бессмертной гармонии" (приписывается Филолаю). "Пифагор и Филолай называли душу гармонией" (Макробий). "Они полагали, что такая-то модификация чисел – душа …" (Аристотель). "Душа, по их мнению куб, со стороной 6 (совершенное число), соответствует 216 (= 6*6*6)... душа могла бы образоваться за 216 дней" (Аристотель).

Исчисление пифагорейцами понятий духовного мира – красоты, этики, справедливости, ... – как и исчисление музыки, воздействующей на душу, также представляло собой, неявно, исчисление души.

Аналогично, и исчисление в пифагореизме дайэмонов неявно являлось исчислением душ, поскольку дайэмоны в раннем пифагореизме соотносились с душами.

В платонизме, неопифагореизме, неоплатонизме утверждения о математическом строении души (индивидуальной и мировой (= Природы)) были повторены. Платоники Спевсипп и Ксенократ, исходя из пифагорейских источников, утверждали, что душа имеет математическую структуру. Ксенократ: "Душа есть самодвижущееся число". Математический мир соотносился или даже отождествлялся с духовным (Ямвлих, Сириан). "Мудрецы были единодушны в том, что душа есть самодвижущееся число ... мировая душа представляет собой как бы ряд музыкальных ступеней" (Макробий).

Дайэмоны как математические объекты

Дайэмоны, низшие божества- посланники богов, в пифагореизме могли быть соотнесены с математическими образцами, по которым демиург построил Космос.

Неоплатоники IV-V вв. явным образом отождествили математические объекты с дайэмонами. Смысл математических объектов, по их концепции, зависел от уровня бытия: люди воображали, представляли себе математические объекты; демиурги, вызывая их, приводили их в бытие. Для божеств срединный мир это исполняющие дайэмоны, для земных душ это математические конструкции. Сириан: "Созерцаемые божествами и демоническими душами математические Формы действуют как демиургические принципы. Однако для земных душ, отпавших от созерцания и т.о. от власти творения, они только объекты знания". Таким образом, изучение математических объектов в неоплатонизме могло быть интерпретировано как изучение высших демонов, а сама математика – как высшая демонология.

Связь математики и религии в пифагорейской системе отмечалась. "Математика была составной частью их <пифагорейцев> религии" (ван дер Варден)[15]. "Пифагорейцы сделали математику частью своей религии. ... Именно в школе Пифагора была установлена взаимосвязь между математикой и религией" (Гейзенберг)[16]. "В пифагорейский школе религия и наука не только сосуществовали, но и были взаимосвязаны" (Хенингер)[17]. Отмечалось и общее влияние связи между математикой и религией у античных пифагорейцев- платоников-неоплатоников на развитие европейской культуры: "Начиная с того далекого времени связь между математикой и религией оказывала сильное влияние на теологическое мышление" (Гейзенберг).

Пифагорейско-платонические представления о связи математики и религии были повторены во время различных ренессансов.

Пифагорейская математико-тантрическая йога

Пифагорейцы, как и платоники, были дуалистами – строили мир из сочетания Двух Начал: Чётного и Нёчетного; или Материи и Идей- Форм. Космогенез в пифагорейской системе напоминал космогенез восточной тантры: неопределённое муже-женское, нечётно-чётное начало распадалось на Две Противоположности, которые далее порождали Космос. В пифагореизме имелись и математические модели этого тантрического (из сочетания Двух Начал) порождения Космоса:

· Составление квадрата гипотенузы из суммы квадратов катетов (чётного и нечётного, мужского и женского); теорема Пифагора.

· Построение фигуры, равной по площади (по материи) данной и подобной (по Идее-Форме) другой – сочетание Идеи и Материи.

· Построение 5 космических элементов (правильных многогранников) с помощью циркуля и линейки (мужского и женского начал); круга и квадрата.

Далее, пифагорейцы активно производили дуальные классификации объектов мира, что характерно для тантрических систем. "Всё двоично" (пифагореец Алкмеон). Обширную пифагорейскую Таблицу Противоположностей приводил Аристотель.

Наконец, пифагорейцы не только строили дуальные/ тантрические теории космогенеза, структуры Космоса и т.д., но и использовали, для своих медитаций, тантрическую технику, особого, интеллектуального типа. К ней относилось: 1) решение задач и доказательство теорем в геометрии с помощью циркуля и линейки, т.е. двух начал; 2) занятия диалектикой, "дуальной обработкой" идей.

Постановка в пифагорейской системе религиозной цели соединения с божеством; применение для этой цели медитаций- созерцаний позволяет характеризовать эту систему как йогу, а использование в ней для достижения целей диалектических- тантрических методов позволяет характеризовать её как тантрическую йогу[18]. В частности, "Начала" Эвклида (которые представляют собой, как известно, "геометрию циркуля и линейки") можно рассматривать как трактат по тантрической йоге; учебник/задачник по интеллектуальной тантре. У неоплатоников метод вызова экстаза – соединения с божеством – также заключался в диалектике Идей-Форм, то есть в использовании некоторой тантрической техники, "игры" с + и – началами.

Пифагорейско-платоническая интеллектуальная тантра – геометрия циркуля и линейки и диалектика Идей-Форм – являлась подражанием демиургу, тантрически организовавшему Космос. В частности, пифагорейцы строили с помощью двух начал, циркуля и линейки, пять правильных тел, соответствовавших по их взглядам основным элементам Космоса, то есть моделировали начальный этап космогенеза.

Тантрическая космогония и тантрические методы достижения целей сближали пифагореизм и его развитие, неоплатонизм, с восточной тантрой, особенно тантрическим буддизмом, в котором для достижения основной религиозной цели предлагались тантрические методы – созерцания-медитации над тантрического типа доктринами и символами: ритуалами яб-юм, сочетаниями ваджры и колокольчика, кругов и квадратов и т.д. (Изображения пифагорейцев с их традиционными инструментами, циркулем и угольником, напоминали (многочисленные) изображения представителей тантрического буддизма с ваджрой и колокольчиком, также являвшихся символами мужского и женского начал). Пифагорейцев отличал от восточных тантриков выраженно интеллектуальный, математический характер их созерцаний.

Поскольку неоплатонизм поддерживал основные цели и методы пифагореизма-платонизма, то он также являлся тантрической системой. В неоплатонизме подчёркивалось значение диалектики, диалектических медитаций (обработки Идей-Форм) для достижения "высших состояний"; как для "перехода к богам", так и для (окончательного) "воссоединения с Единым". Представления неоплатоников о космогенезе, структуре Космоса, продолжая пифагорейско-платонические, тоже являлись тантрическими. В частности, тантрическими были отношения основной пары неоплатонизма, Интеллекта и Мировой Души: между ними происходило взаимодействие-обмен "энергиями": индивидуальные души восходили через Мировую Душу к Интеллекту; падение их совершалось обратным порядком.

Итак, неоплатонизм являлся религиозной системой, включавшей тантрическую теорию происхождения и строения Космоса, а также тантрическую практику достижения высших состояний.

Неоплатонизм как религия Пустоты

Основные положения неоплатонизма были в существенном подобны основным положениям восточных религий Пустоты – буддизма/ адвайта-веданты[19]. В частности, высшие состояния экстаза в неоплатонизме вызвались с помощью интеллектуальной тантры, а именно, "диалектических" медитаций. Применение тантрической практики для достижения высших состояний является характерной чертой религий Пустоты, в том числе буддизма, даосизма. Из изоморфизма исходных положений и методов их преобразований следует изоморфизм или аналогичность развертываемых конечных состояний (изменённых состояний сознания). Таким образом, неоплатонизм тоже можно рассматривать как религию Пустоты, а его "воссоединение с Единым" – как аналог "ухода в Пустоту" буддийских или даосских систем.

Активизация неоплатонизма, проникновение его фрагментов в другие системы вело и к развитию в них тантрических мотивов. Так, явственный тантрический акцент имела "христианская" мистика Сузо - Эккарта (XIII в.), развившаяся под влиянием неоплатонизма. В эпоху Просвещения неплатоническая пара Интеллект - Мировая Душа трансформировалась в пару Разум - Природа, отношения между которыми также представлялись тантрическими.

Математика в античной и средневековой магии

Помимо применения в античном пифагореизме неоплатонизме занятий математикой для перехода в состояние дайэмона – что можно трактовать как высшую магию – математические объекты, числа и фигуры использовались и в ряде разделов "обычной" магии – в основном в астрологии и для создания талисманов.

Математика в астрологии

В вавилонской астрологии не позднее – V века стали составляться гороскопы. "Принципом и как бы фундаментом халдейской науки является гороскоп" (Секст Эмпирик). "Халдеи занимались наблюдениями звезд и предсказаниям" (Диоген Лаэртский).

Для составления гороскопов применялись вычисления и построения фигур. Использование математики было столь характерной чертой античной астрологии, что астрологов в тогдашнее время (и некоторое время позже) нередко называли математиками: "Я отбросил уже лживые предсказания и нечестивые бредни математиков ... продолжал я советоваться с этими проходимцами (их называют математиками), ссылаясь на то, что они не приносят жертв и не обращаются ни к одному духу с молитвами о своих предсказаниях..." (бл. Августин). По контексту "математики" у Августина означали астрологов. Астрологи в окружении императора Тиберия на Капри были названы, в комментариях к Ювеналу, "магами и математиками".

Математика и астрология часто связывались в античности через халдеев, занимавшихся ими обеими. "Некоторые называют математиками тех, кого следовало бы называть по их происхождению халдеями" (бл. Августин). "Халдеи именуют себя математиками и астрологами ... доставляют разнообразный вред людям" (Секст Эмпирик).

Во время гонений на представителей того или иного лжеименного знания астрологов нередко объединяли с математиками, совмещая или путая термины. Декрет императора Вителлия (I в.): "Халдеев и математиков – вон из Рима". Кодекс Юстиниана (VI в.) предусматривал наказания для астрологов- "математиков": "Пусть никто не совещается с гадателем или математиком". "Совершенно запрещается достойное осуждения искусство математики".

В средние века сохранилась связь этих понятий. Византийский писатель XIV века Властарь: "последователи математики – это те, которые мудрствуют, что небесные тела имеют владычество над всей тварью и от их движения зависят наши дела".

Магические квадраты

В средневековье числовые магические квадраты использовались как астральные талисманы. Квадрат 3*3 относился к Сатурну, 4*4 – к Юпитеру и так далее, до квадрата 8*8, отнесённого к Меркурию.

Время и место появления простейшего магического квадрата, порядка 3*3, не определено. Прямых сведений о знакомстве с ним в Вавилоне или античной Греции нет. В арабоязычной культуре этот магический квадрат впервые появился в рукописи конца VIII века, приписывавшейся алхимику Джабиру ибн Хайану (Геберу). В тексте рукописи автором этого квадрата был назван неопифагореец +I в. Аполлоний Тианский. (Ссылки арабоязычных авторов, особенно ранних, на греческих учёных довольно часто являются ложными. Однако в данном случае вероятность трансляции магического квадрата 3*3 в арабоязычный мир из эллинистического усиливает применение этого квадрата в тогдашней магии для "облегчения родов" одновременно со связыванием его с Сатурном, который, по греческому мифу, проглатывал своих детей).

Вскоре в арабоязычном мире стали известны и магические квадраты высших порядков. Сочинение о магических квадратах написал сирийский математик Сабит ибн Корра ал-Харрани (835 - 901 гг.). Квадраты порядков 3-9 были приведены в энциклопедии "Братьев Чиcтоты" – серии трактатов, составленных во второй половине X века.

В XII веке в Испании сочинение о магических квадратах написал р. Абрахам бен Эзра (1092 - 1167 гг.).

Самым ранним латиноязычным сочинением, где были приведены магические квадраты, считается трактат Агриппы "Об оккультной философии" (1508- 32 гг.). Агриппа, как и "Братья Чистоты", соотносил с магическими квадратами планеты, то есть, применял их для астральной магии. Поскольку в своей книге он приводил, рядом с квадратами, написанными современными цифрами, аналогичные, написанные еврейскими цифрами (буквами) то, видимо, он заимствовал их частично из книг (испанских) евреев, возможно, того же бен Эзры. (Агриппа заимствовал у еврейских авторов, видимо, квадраты только рангов 3*3 и 4*4, а более высокие степени – из других работ. Это следует из того, что только в квадрате 4*4 у него встречается характерная для еврейской культуры замена числа 15 на 9+6. Евреи заменяли, при записи чисел буквами, число 15 на 9+6, т.к. 15 составляло имя Бога (Яхве) а произносить или записывать имя Бога в иудаизме запрещено. В квадрате 5*5 у Агриппы число 15 было уже записано обычным способом, как 5+10).

Математика в ренессансной магии и оккультизме

В астральной магии Ренессанса одним из видов планетных талисманов были математические магические квадраты. Их приводил Агриппа (1486 - 1535 гг.) в "Оккультной философии" (1531/3 г).

Ренессансная астрально-музыкальная магия, воздействие на духов планет и звёзд с помощью звуков, основывалась на предположении о совпадении числовых пропорций устройства Природы и человека. "Применение музыки для привлечения планетных или небесных духов произошло из представлений Пифагора и Платона что и человек и вселенная созданы по одним и тем же гармоническим принципам... использование музыкальных пропорций совпадавших с пропорциями небесных тел могло заставить дух отзываться в резонансе" (Ф. Йетс).

Математика применялась в ренессансной алхимии. Т. Нортон, в Ordinall of Alchemy (1477 г.) утверждал, что в алхимии следует использовать математику; что сам алхимический процесс является "рекомбинацией элементов с помощью числа, веса, меры". И. Тритемий (1462 - 1516 гг.) считал, что математика является основой алхимии.

Математикоподобные объекты использовались в каббале.

С помощью амулетов из чисел и фигур вызывались демоны. Агриппа, Джон Ди (1527 - 1608 гг.) и другие оккультисты рассматривали математику как способ общения с высшими духами. Рейхлин (1455 - 1522 гг.) полагал, что с ангелами/ демонами, у которых нет голоса, лучше всего общаться с помощью знаков и символов.

Оккультисты Ренессанса утверждали, что математика не только может применяться в магии, но является особым видом магии, математической магией; поскольку её использование в механике и других искусствах даёт необычные, "чудесные" эффекты. Агриппа: "С помощью математики можно создавать статуи и фигуры, которые движутся и говорят... Когда маг следует естественной философии и математике, знает арифметику, геометрию, музыку, оптику, астрономию, механику он может делать чудесные вещи". Джон Ди также считал применение математики к механике одним из видов магии. Дж. Уилкинс (1614- 72 гг.) свой трактат, где описывались механические устройства, назвал "Математическая магия" (1648 г.). Математическая магия в смысле применения математики к механике считалась "естественной". Образцом натурального математического мага для оккультистов Ренессанса был Архимед, создававший механические устройства на основе математических расчётов.

"Математической магией" в Ренессансе иногда также называлась астрология; поскольку астральный мир именовался оккультистами "математическим".

Многие оккультисты и близкие к ним неоплатоники Ренессанса считали математику не только магией, но и вообще основой всей магии. Агриппа: "Математика в высшей степени необходима для магии, так как всё, созданное естественными силами, управляется числом, весом, мерой". "Основа всех видов магии у Агриппы – математика" (Ф. Йетс). Лефевр д'Этапль: "Маг должен знать не только астрологию, но и философию, теологию, особенно тайное значение чисел". Разные виды магии Лефевр считал следствием пифагорейской числовой магии. Так, сопоставление планет и земных вещей в астральной магии было, по его мнению, следствием сопоставления планет с числами и чисел с вещами. Р. Фладд: "Маг – эксперт в математике. Истинная мудрость может быть найдена в работах натуральных магов, которые являются истинными математиками". Тритемий: "Магия основана на математических знаниях и изучении математических гармоний в природе… Ключ ко всей магии – понимание того, как множественность, воплощенная в двоичность, возвращается к единству через троичность… через понимание этих чисел душа может достигать мистического видения, постигать оккультные тайны и получать власть совершать чудесные вещи". Пико делла Мирандолла утверждал, что ни одна магическая процедура не может дать нужного эффекта без применения каббалы (использовавшей числа и фигуры).

Космос ренессансных оккультистов имел троичную структуру: над физическим миром располагался астральный, соответствовавший духам планет, звезд; над ним – сверхнебесный. При этом математика применялась оккультистами для описания всех трёх миров. Так, в трактате "De harmonia mundi" (1525 г.) Ф. Джорджи (1466 - 1540 гг.) уровни Космоса изображались числами. У Агриппы через все три мира Космоса "проходило, как связующее звено, число" (Ф. Йетс). Джон Ди применял математику в физическом мире для практики, в небесном мире – для астрологии и алхимии, в сверхнебесном – для заклинаний высших духов с помощью комбинаций чисел и фигур. Аналогичным образом, все три уровня Космоса античного неоплатонизма – физический, интеллектуальный, божественный – также описывались через числа. Срединным уровень Космоса неоплатоников был математический – как и астральный уровень оккультистов – он располагался между физическим миром и Идеями-Формами.

Математика в ренессансном неоплатонизме

Во время ренессансов эллинизма в разных культурах возобновлялись и пифагорейско-неоплатонические представления о соотношении математики и религии, а также иллюстрации с помощью математических образов теологических доктрин неоплатонизма.

Например, неоплатоническое представление об излучении мира из Единого в анонимном герметическом трактате XII века представлялось как развёртывание круга из точки: "Божественный ум относится к мировой душе как центральная точка к развертывающему центр кругу". Это утверждение повторил ренессансный неоплатоник Николай Кузанский (1401- 64 гг.). Неоплатонически- пантеистический тезис о "присутствии Бога во всех вещах" иллюстрировался так: "Бог есть сфера, центр которой везде, а периферия нигде". Николай Кузанский применял для иллюстрации этого тезиса математическоподобные рассуждения о "совпадении бесконечно малого и бесконечно большого".

Ренессансные неоплатоники разделяли пифагорейско-платонические представления о том, что с помощью математики достигается более высокое духовное состояние; познаётся божественное. Лефевр Д'Этапль считал математику "путём к Богу"; утверждал что числа и фигуры – объекты, наиболее близкие к божественному, которые "дают наилучшее средство для подъёма от множественности к единству, от сложного к простому … используя арифметику и геометрию человек переходит от мира мнений к видению идей, Единого и Троицы". Джон Ди в написанном им "Предисловии к Эвклиду" (1570 г.), утверждал, что математика не только полезна для практики, но и "приближает к божественному". Сходные гностико-неоплатонические идеи высказывали и близкие к пифагореизму-неоплатонизму учёные в разные времена. Аль Фараби: "Основой счастья является знание, приобретение которого следует начинать с рассмотрения чисел и величин". Омар Хайам: "Математические науки более всего заслуживают предпочтения. … Изучение наук и постижение их с помощью доказательств есть одна из вещей, необходимых тому, кто желает спасения и вечного счастья". И. Шафаревич: "Математика может послужить моделью для решения основной проблемы нашего времени: обрести высшую религиозную цель и смысл культурной деятельности человечества".

О теории трансфинитных чисел Кантора

Тот, кто сегодня решит познакомиться с теорией трансфинитных чисел, может поначалу счесть её наукой, притом связанной с математикой. В ней регулярно мелькают математические значки: +, –, *, …; постоянно встречаются математикоподобные выражения: упорядоченные ординалы; трансфинитные числа, …; она часто излагается в сочинениях, представляемых как "основания математики" и т.д. Однако по мере углубления в предмет выясняются противоречащие этому первому впечатлению факты. Оказывается, что в теории Кантора не только вводится актуально бесконечное – "… что никогда не позволительно в математике …" (Гаусс); "Нет актуально бесконечного" (Пуанкаре) – но и предлагается производить различные действия над ним. Оказывается далее, что основное утверждение теории, несчётность континуума[20], является лишь аксиомой, принимаемой на основе правдоподобных рассуждений. Наконец, оказывается, что теория Кантора является самозамкнутой: не имеет связи с реальностью, не может быть применена на практике, даже через цепочку посредующих теорий. Сходство с наукой, в частности, с математикой, строгость доказательств, а также эффективность для практики которой хорошо известны, исчезает. Зато появляется подозрение, что перед нами квазинаучная система, мимикрирующая под математику. Это подозрение подтверждают содержащиеся в теории Кантора софизмы, псевдофилософские рассуждения, попытки построить Общую Теорию Всего, характерные скорее не для науки, а для идеологии или квазирелигии, вводящей адептов в изменённое состояние сознания.

Несчётность континуума

Доказательство несчётности континуума (диагональный процесс), данное Кантором, требовало для своего завершения выполнения бесконечного числа процедур – что определялось предложением в тексте "продолжить процесс и так далее до бесконечности" – и, таким образом, являлось лишь нестрогим правдоподобным рассуждением. Оно неоднократно критиковалось[21]. Позже вопрос о доказательстве несчётности континуума на некоторое время исчез из виду и только современные математики, вернувшись к нему, обнаружили что теорема Кантора не доказана; более того, обнаружили что её вообще нельзя доказать методами обычной логики[22].

Какими методами вводились канторовские трансфиниты

Хотя рассуждение Кантора (диагональный процесс) не является логическим или математическим[23] доказательством, но оно кажется правдоподобным, а также красивым. Кроме того, в поддержку своей теории, Кантор ссылался на откровение[24]. Аналогично и другие метаматематические утверждения о трансфинитах, предлагавшие совершить бесконечное число процедур, являлись не (логически доказанными) теоремами, а аксиомами, принимаемыми на основе их правдоподобия, красоты, откровений и т.д. В частности, так строился ряд "бесконечностей", кстати, тоже "бесконечный". Между ними могли вводиться, опять-таки аксиоматически, по тем или иным основаниям – хотя бы и откровениям – промежуточные бесконечности.

Однако теория трансфинитов не имела эффективного конечного представления, содержательной связи с реальностью – что делало иллюзорной её красоту, правдоподобие и другие аргументы в её поддержку. (Реальная, а не виртуальная красота связана, в конечном счёте, с действиями в реальном мире, с практикой).

Теория Кантора: квазирелигия

Как известно, канторовскую теорию характеризует не только неприменимость на практике, но и появление в ней многочисленных софизмов, псевдопроблем, а также весьма примечательные попытки построить, на основе понятия множества, "Общую Теорию Всего". Эти признаки характеризуют скорее не науку, а теологию, притом ложную. Для теории Кантора сходство с теологией усиливается тем, что основным объектом её рассмотрения являются трансфиниты, бесконечности – атрибут, издавна соотносимый с божественным: строятся иерархии трансфинитов, вводятся их имена, производятся математикоподобные классификации и действия над ними. Сам Кантор неоднократно пытался связать свою теорию с теологией, найти для неё богословские обоснования. Таким образом, возможно, что значительная часть его теории представляла собой перевод на квазиматематический язык определённой религии. Какой именно?

Ближайшими религиозно-философскими аналогами канторовской теории трансфинитов являются гностические системы, занимавшиеся ангелологиями и эонологиями. В гностических теориях также нередко выстраивались – просто придумывались – иерархии ангелов, им давались имена и пр. Например, Ириней Лионский (II в.) писал о гностиках: "Измышляют некие имена и выдают их за имена ангелов". Встречались у гностиков и псевдоматематические построения. Кстати, выраженная склонность к абсурдным – но кажущимся своим авторам "красивыми" – псевдоматематическим рассуждениям заметна среди мистиков, сектантов, лиц с изменённым состоянием сознания и пр. Например, кардинал Н. Кузанский (XV в.) доказывал свои малоосмысленные пантеистические тезисы о "совпадении бесконечно большого и бесконечно малого", как он выражался, "при могущественной помощи математики".

Выявление аксиоматического характера введения трансфинитов позволяет углубить аналогию между теорией бесконечных множеств и гнозисом: иерархический ряд бесконечностей Кантора соответствует аксиоматически выстраиваемым ангельским иерархиям гностиков. Аналогичны и основания введения этих рядов в обеих системах: правдоподобные рассуждения и откровение. В частности, основой гностицизма являлось псевдоправдоподобное заключение о необходимости "посредующих сущностей", без которых Бог, являющийся бесконечным, якобы не может создать (конечный) мир. Далее, однако, приходится вводить посредников между посредниками и т.д. Заметно подобие этого процесса с введением промежуточных трансфинитов.

Сходство теории Кантора с теологией отмечалось. Например, в Петербургской математической школе первой четверти XX века отказывались обсуждать активно рекламировавшуюся тогда гностически настроенными философами и учёными теорию множеств, говоря: "это не наука, это теология". В те времена это утверждение являлось, скорее, интуитивно найденной метафорой. Но, как видно, ему можно придать и прямой смысл: теория трансфинитных множеств Кантора – это изложенная на математикоподобном языке квазирелигиозная система гностического типа.

Метаматематика: виртуальный мир

Теория Кантора и развитая на её основе метаматематика имеет сходство и с таким примечательным явлением современности как создание виртуальных миров, слабо связанных с реальностью, но удовлетворяющих определённые психологические запросы потребителя. Виртуальными мирами являются, в частности, компьютерные игры; телесериалы; замкнутые на себе манипуляции с текстами. Квазирелигиозные гностические системы также являются примерами виртуальных реальностей. Виртуальными играми можно представлять и лишённые связи с реальностью математикоподобные манипуляции с "трансфинитами".

Внедрение теории трансфинитов в науку

Историки математики хорошо помнят негативное отношение многих учёных к появившейся в конце XIX века теории трансфинитов. Видный математик Брауэр характеризовал теорию Кантора как "курьёзный патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения придут в ужас". Анри Пуанкаре: "Нет актуальной бесконечности. Канторианцы забыли об этом и впали в противоречие"[25]. Однако поскольку новая теория обещала познание такой важной вещи как бесконечность, а её развитие не предполагало таланта и не требовало особенного труда, как и развитие любого гнозиса, то, если не качество, то количество последователей теории Кантора неуклонно росло. К ним охотно присоединялись представители социально близких областей: поэты-символисты-декаденты, богословы-философы-софисты и прочие творцы виртуальных миров. Исследователи трансфинитов вовлекали в свои ряды новых участников, готовых заплатить "вступительный взнос", писали друг другу похвальные отзывы, но не давали ничего практически полезного и очень агрессивно реагировали на любые попытки критики. Результатом всей этой деятельности стало существенное расширение их первоначально немногочисленного сообщества и превращение его в нечто среднее между мистической сектой, группой по интересам толкиенистского типа, и корпорацией сетевого маркетинга.

Заключение

Теория трансфинитных множеств представляет собой не раздел математики, а гностическую религиозно-философскую систему, сочетающую в себе черты лженауки, лжерелигии и виртуального мира. Возможно, со временем её адепты явным образом организуются в религиозную секту, проповедники которой будут обучать методам медитаций над трансфинитными эонами, по образцу, например, трансперсональной медитации Махариши Йоги или сайентологии Л.Р. Хаббарда, либо реализуют в виде компьютерной игры созданный ими развлекательный, но практически бесполезный виртуальный мир метаматематических трансфинитов.

Математические образы в христианской теологии

математическое моделирование божественного

достижение с помощью математики более высокого духовного состояния

математика в сочинениях Игнатия Брянчанинова

Математическое моделирование божественного

Понятия и объекты математики использовались христианскими экзегетами и теологами с античных времён. Например, Дорофею (VI в.), представителю восточного православного монашества, приписывалось следующее богословско-геометрическое рассуждение: "если представить Бога как точку, то чем ближе святые подходят к нему, тем больше они сближаются друг с другом".

Особенно охотно использовали математические образы богословы, симпатизировавшие пифагореизму-платонизму. Иногда они в своих религиозно-математических рассуждениях представляли не столько христианскую теологию, сколько её смешение с неоплатонизмом. Например, бл. Августин (IV в.), который, по словам Фомы Аквинского, "шёл по следам платоников столь долго, сколько вообще это было возможно", утверждал: "Бог сотворил мир за 6 дней, поскольку 6 – совершенное число"[27]. Вряд ли это высказывание бл. Августина можно было связать с каким-либо положением библейской космогонии; оно, скорее, явилось результатом его увлечения платонизмом и неопифагореизмом, в котором уделялось немало внимания изучению совершенных чисел. Сходным образом, христианские экзегеты и учёные Кассиодор (VI в.); Рабан Мавр (IX в.) утверждали: "Святая Троица, когда творит мир, поступает как геометр", почти дословно повторяя платоновское "Демиург занимается геометрией". Максим Исповедник (VII в.), комментатор христианско-неоплатонического трактата Псевдо-Дионисия, применял числовые образы в богословских рассуждениях: "Число 30, постигаемое в таинственном смысле, представляет Бога как творца времени, природы и умопостигаемых существ. Времени – благодаря числу 7, так как время седмирично; природы – благодаря числу 5, так как природа пятирична и разделяется на 5 частей чувствами; умопостигаемых существ благодаря 8, так как их бытие превышает период, измеряемый временем; Бог есть промыслитель, благодаря 10, через 10 заповедей. А при сложении 5, 7, 8, 10 получается 30"[28].

Начиная со Средневековья, богословы и философы использовали математические понятия и объекты для иллюстрации неограниченности, вездесущия, всемогущества и других качеств Бога; его отношение, как бесконечного, к конечному миру; также для иллюстрации тех или иных положений христианской теологии, в частности и в особенности, отношений в Троице.

Тьерри Шартрский иллюстрировал порождение Богом-Отцом Сына и их равенство с помощью уравнения 1*1 = 1. Роджер Бекон представлял Троицу равносторонним треугольником, в котором есть одновременно единство и различие. Иоганн Кеплер (1571 - 1630 гг.): "Образ триединого Бога – сфера. Бог-отец в центре, Сын – на поверхности, Дух – между центром и поверхностью...". Б. Раушенбах (1915 - 2001 гг.), специалист в области механики и космонавтики, интересовавшийся вопросами богословия, приводил и такую иллюстрацию одновременного единства сути и различия ипостасей в Троице: вектор и три его компоненты.

Достижение с помощью математики более высокого духовного состояния

Многие христианские философы, в той или иной степени разделявшие идеи пифагореизма-платонизма, начиная уже со времен Средневековья – Эриугена (IX в.), представители Шартрской школы (XII в.), Роджер Бекон (XIII в.) и другие – высказывали мнение, что с помощью математики достигается более высокое духовное состояние. Гуго из Сен-Виктора (XII в.): "знание математики отвлекает от чувственного восприятия и ведёт душу вверх". Тьерри из Шартра (XII в.): "изучение квадривиума ведёт к знанию Творца". В Шартрской школе к этому добавлялись предложения "искать Бога" также и в "законах Природы" (которые через некоторое время стали приобретать математический вид). Роджер Бекон: "знание математики необходимо для знания небесных тел, которое отвлекает душу от земного и устремляет её к небу, а также пробуждает понимание величия Создателя".

Те же философы считали, что знание квадривиума, математики нужно для понимания, точнее, рационального истолкования Библии. Тьерри Шартрский: "от математики зависят все рациональные объяснения". Роджер Бекон, следуя Августину ("незнание чисел не дает возможности понять некоторые места Библии") и прямо ссылаясь на него, утверждал, что знание математики необходимо для знания теологии: "без математики нельзя понимать созданное, таким образом нельзя понять св. писание". Аналогично выражался Дж. Пекам, архиепископ Кентерберийский: "Я собираюсь разъяснить число, форму … так как это необходимо для понимания Священного Писания".

Математика в сочинениях Игнатия Брянчанинова

Видный богослов XIX века епископ Игнатий Брянчанинов неоднократно обращался в своём творчестве к математике вообще и к использованию математических образов для иллюстрации положений христианской теологии в частности.

Рассуждая о математике, он, прежде всего, подчёркивал её основную цель – получение знаний о Природе – и её определяющую роль среди других естественных наук:

"К чему служит изучение математики? Предмет её – вещество. Она открывает известный вид законов вещества, научает исчислять и измерять его, применять исчисления и измерения к потребностям земной жизни… Математики, действуя знаками, изображая знаками предметы и свойства их, достигают самым верным путём познаний, недостижимых иным путем, часто невыразимых словами …

Во всей природе господствует строжайший математический расчёт… математика относится к естественным наукам как душа к телу. … Вселенная есть число и все составляющие её части есть числа … Одна логика может обойтись без математики, но и логика, в сущности, неразрывно связанна с математикой. … Что такое силлогизм? Это алгебраическое уравнение. Что такое пропорция и прогрессия? Это логическая последовательность понятий".

Он отмечал, что математика может вести рассуждения и расчёты с величинами, либо слишком малыми, либо слишком большими для их непосредственного познания человеческими чувствами:

"Указывает математика на числа и меры, из которых одни по значительной величине своей, другие – по крайней малости не могут подчиниться исследованию человека, указывает она на существование познаний, к которым человек имеет врожденное стремление, но к которым возвести его нет средств у науки. Математика только делает намёк на существование предметов вне объёма наших чувств".

Математика, согласно Игнатию Брянчанинову, может доставлять познание не только Природы, но и Бога, иллюстрировать его действия, творение мира, отношение к человеку. Такие возможности предоставляет математическое понятие бесконечности:

"Указывает она <математика> на существование величины бесконечной, как на идею, за пределами вещества. Точное познание и определение этой идеи логически невозможно для всякого разумного, но ограниченного существа. … К этой теории <математической теории о бесконечности> мы обращаемся часто, чтобы по возможности правильно и точно объяснить отношение тварей к Творцу, в собственном смысле недостижимые и необъяснимые. Не способна к такому объяснению ни одна наука, кроме математики. Одна она, доказывая неприступность бесконечного к постижению его, ставит в правильные отношения к нему все числа, то есть все виды тварей. … По закону математики, которая, не обретя в словах человеческих достаточных средств к изображению своих предметов и понятий выражениями, соответствующими требованиям науки, Бог, со всей точностью, изображается бесконечностью. На основании законов математики Бог должен быть признан существом выше всякого определения".

Например, с помощью теории (бесконечных) пределов, математика может проиллюстрировать создание бесконечностью из ничего всей Вселенной (из числа 0 всех остальных чисел):

"Творение чего-либо из ничего свойство лишь бесконечного, оно производит число, преобразуя в него ноль. Прежде полагали, что 0, помноженный на бесконечность, даёт 1. Неверно, он даёт число, то есть вообще все числа[29], которые в отношении к бесконечности все равны. Вот высшая идея, которая только может быть доставлена наукой о мироздании".

С помощью понятия бесконечности можно проиллюстрировать различие между человеком, конечным миром, и Богом, сопоставляя людям, физическим объектам, явлениям Природы вообще – числа, а Богу – бесконечность:

"Непосвящённый в таинства математики никак не совместит в себе понятия, что все числа, столь различные между собой, вместе совершенно равны одно с другим в отношении к бесконечному. Причина такого равенства очень проста и ясна: она заключается в бесконечной, следовательно, постоянно равной, разнице между бесконечным и каким бы то ни было числом… нет числа, которое не могло бы измениться от прибавления к нему или вычитания из него, нет числа которое не могло бы обратиться в 0… Одно бесконечное пребывает неизменным, оно не изменяется ни от прибавлений, ни от вычитаний из него. Одно оно есть в точном смысле существо. …

Бесконечное, объемля собою все числа, вместе с этим пребывает превыше всякого числа по свойству совершенства, не имеющего ни в чём недостатка и неспособного подвергнуться недостатку. По этому свойству, бесконечное, объемля все впечатления, пребывает превыше всякого впечатления; иначе оно подверглось бы изменениям, что свойственно числам, и не свойственно бесконечному. …

По бесконечному различию, которым отличается бесконечное от всякого числа, нет возможности никакому ограниченному существу, каким бы оно ни было, видеть Бога ни чувственными органами, ни познанием ума".

Наконец, Игнатий Брянчанинов, обратив внимание на распространение в его время различных полузнаний, туманных "философских" теорий, выдаваемых, однако за некие "окончательные истины", рекомендовал, изучить православное богословие и создать прочную теоретическую основу науки:

"Многие, признающие себя сведущими в философии, но не знакомые с математикой и естественными науками, встречая в сочинениях материалистов произвольные мечты и гипотезы никак не могут отличить их от знаний, составляющих науку. … Желательно, чтобы кто-нибудь из православных христиан, изучив положительные науки, изучил потом основательно подвижничество православной церкви и даровал человечеству истинную философию, основанную на точных знаниях, а не на произвольных гипотезах".

Математика и изменённые состояния сознания

Медитации над математическими объектами в некотором смысле аналогичны достижению изменённых состояний сознания с помощью ритмов, музыки, мантр, йогической техники и т.д. Многочисленные утверждения о связи математики с демонами (см. выше); о том, демоны оказывают влияние на математику (и математиков) также, фактически, являются утверждениями о связи математики, занятий ею с изменёнными состояниями сознания; поскольку вызов/ вселение демона может интерпретироваться как переход в изменённое (патологическое) состояние сознания. И обратно, утверждения, что вход в определённые изменённые состояния сознания может давать развитие интеллектуальных способностей, в том числе математических, являются переформулировками представлений, что демоны, вселяясь в человека, могут давать ему экстраординарные способности (ясновидение, телепатию, …). К такого рода изменённым состояниям сознания, вселению демонов, видимо, относится и удивительное на первый взгляд проявление способностей к математике – высокой, даже "божественной" науке – у ряда психически ненормальных людей.

Связь между занятиями математикой и входом в изменённые состояния сознания, экстраординарными математическими способностями и отклонениями в психике отмечалась. Так, И.А. Ефремов полагал, что "усиленные занятия математикой, с её прямолинейной и абстрактной логикой, создают склонность к параноидальной психике".

Оккультисты-неоплатоники

Многочисленные примеры занятий математикой и вызова демонов/ вхождения в изменённые состояния сознания дали античные и ренессансные философы- оккультисты неоплатонического направления; см. выше.

Луллий. В 1274 году испанец Рамон Луллий (1232 - 1316 гг.) написал книгу, названную им Ars Magna ("Великое Искусство"). В вершинах многоугольников, вписанных в окружности, Луллий изобразил основные характеристики, или излучения Бога, а также другие понятия и объекты, связываемые проекциями с ними. Путём манипуляций с этими чертежами он предполагал делать неопровержимые заключения и получать новые знания в разных областях человеческой деятельности. Таким образом, "Искусство" должно было представлять собой механико- математический универсальный метод вывода новых знаний. За 1275 - 1310 гг. Луллий написал около ста работ по "Искусству".

Луллий испытывал фанатическую убеждённость как в истинности своего открытия, так и в своей миссии осчастливить им человечество. Он рассылал свои сочинения религиозным и политическим лидерам, проповедовал в разных городах Италии, Испании, Франции, вербовал всё новых и новых адептов "Искусства".

При всём том изложение его изобретения, несмотря на многочисленные работы Луллия, дошедшие до нашего времени, является крайне неясным и современные историки, в основном, производят его гипотетические реконструкции. Однако и после этих реконструкций "Ars Луллия всё ещё возвышается как некая громадная непокорённая горная вершина"[26].

В процессе работы над Ars у Луллия неоднократно случались полурелигиозные видения, определявшие направления его деятельности. По всей вероятности, эти видения были обусловлены влиянием демонов. Туманность и неясность "Искусства", в сочетании с твёрдой убеждённостью его автора в собственной правоте, показывают, что Рамон Луллий находился в изменённом состоянии сознания.

Рамануджан. Интересный материал для изучения вопроса о связи математики с изменёнными состояниями сознания даёт биография индийского математика Рамануджана.

Шриниваса Рамануджан (1887 - 1920 гг.), родившийся в бедной индийской семье, рано проявил выдающиеся математические способности. Он обратил на себя внимание сначала соотечественников- математиков, а потом и видных английских учёных; был приглашён для работы в Англию. Рамануджан получил много удивительных результатов в теории чисел. Решение им ряда задач напоминало ясновидение – прямое видение результата без его вывода, вычисления. При этом некоторые эпизоды жизни и математической деятельности Рамануджана были связаны с демоническими явлениями:

· Бабушка Рамануджана по матери была поклонницей богини Намагири Лакшми, главного божества Намаккала. Она часто впадала в транс и говорила как Намагири. Однажды в трансе она предсказала, что после неё богиня будет говорить через сына её дочери (ср. с передачей шаманского дара через поколение.).

· Однажды Рамануджану привиделось во сне, что богиня Намагири сделала надпись на его языке. После этого началось его необычно быстрое математическое развитие.

· Получив приглашение в Англию для научной работы, Рамануджан три дня провёл в Намаккале, стараясь получить указание Намагири. Тогда же его мать увидела сон, в котором Рамануджан находился среди других людей с нимбом над ним. После этого она разрешила Рамануджану поездку.

· Рамануджан и его семья очень почитали божество Нарасимха – мужского партнёра Намагири, одно из воплощений Вишну. Признаком благоволения этого божества считалось видение капель крови во сне. Рамануджан утверждал, что после таких видений перед ним развёртывался свиток, содержавший сложные математические результаты, которые он записывал после пробуждения; запоминалась только часть из них. Во сне появлялись результаты решения задач в виде эллиптических интегралов.

Знакомые Рамануджана упоминали его веру в астрологию, оккультизм. Сам он как-то имел видение похорон своего родственника, подтвердившееся позже.

В 1934 году индийские спириты вызвали дух Рамануджана и спросили, занимается ли он математикой. Тот ответил, что математикой больше не занимается, а медитирует над Vishnu-sahasra-nama – гимном 1008 имен бога Вишну.

[1] Подробнее см. следующую главу. Также см. Симаков М.Ю. "Пифагорейская система", М., 2000 г.

[2] Перминов В.Я. "Философия и основания математики", М., 2001 г.

[3] Интеллектуальный мир, по существу, совпадает с математическим; см. далее.

[4] см. Симаков М.Ю. "Интеллектуальные системы", М., 2005 г.; "Начальные основания логики и теории познания", М., 2015 г.

[5] Подробнее см. Симаков М.Ю. "Интеллектуальные системы", М., 2005 г., "Начальные основания логики и теории познания", М., 2015 г.

[6] цит. по "Математизация современной науки", М.,1986 г.

[7] Philips J. "Pythagoras and early pythagoreanism", 1968.

[8] Собственность в таких обществах не столько "отдавалась в общее пользование" сколько передавалась (для управления ею) представителям правящей группы.

[9] "Исходное значение слова "гармония" – не музыкальный аккорд, а согласование", "состыковка", производимое мастером так, что результатом является единый объект... Всё, что соединяет части в единую структуру есть harmonia" (Philips J. "Pythagoras and early pythagoreanism", Тoronto, 1968).

[10] Между прочим, религиозный текст, набранный на компьютере, уже фактически является представленным в математическом виде – как последовательность чисел 0 и 1 в памяти компьютера.

[11] Небезынтересно при этом, что античные пифагорейцы сделали значительный вклад в развитие математики как таковой.

[12] Datta B. "The science of the Sulba", Calcutta, 1932.

[13] Stanley Th. "Pythagoras, his life and teaching", L., 1970 (1687).

[14] Плутарх "Об EI в Дельфах" // "Вестник древней истории", т.1, 1978.

[15] Ван дер Варден Б. "Пробуждающаяся наука", т.1, М., 1957 г.

[16] Гейзенберг В. "Физика и философия", М., 1989 г.

[17] Heninger S. "Touches of sweet harmony", San Marino, 1974.

[18] Йога = соединение (с божеством). Кстати, пифагорейский термин математика загадочным образом близок к санскритскому названию второй ступени йоги: madhumati. Мата на санскрите – интеллект; богиня письма – Матанга. Mahamati (санскр.) = "Великая Мудрость".

[19] Подробнее см. "Пифагорейско-платоническая система и восточная философия"// Симаков М.Ю. "Восточная философия и западная наука", М., 2005 г.

[20] "Уберите теорему Кантора о несчётности континуума и весь этот блистательный супер-трансфинитный вавилон рассыплется единовременно …" (А. Зенкин).

[21] "Б.Рассел по крайней мере дважды выражал сомнение в корректности диагонального процесса" (Бычков С., Зайцев Е., Шашкин Л., "Диагональная процедура Кантора и теория множеств" //"Историко-математические исследования", М., 1999 г.).

[22] "Логическое обоснование диагональной процедуры вообще невозможно" (Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. цит. соч.).

[23] Математический вывод – вывод, полученный применением математических систем продукций (источников познания).

[24] Подробнее, напр., Катасонов В. "Боровшийся с бесконечностью", М., 2000 г.

[25] Почти все софизмы теории "бесконечных множеств" сводятся к утверждению: "уравнение Х = Х+1 (mod 2) (А = ⌐А) не имеет корней". Что в этом парадоксального?

[26] Yates F.A. "Collected essays", vv. 1-3, L., 1982.

[27] Совершенное число – равное сумме всех своих множителей (6 = 1+2+3).

[28] К этому рассуждению Максима подходит то же замечание, что и к рассуждению бл. Августина. Подобный "числовой гнозис", видимо, проникал в христианскую теологию из неопифагорейских и неоплатонических источников. Он не был связан ни с Библией, ни с эффективным математическим познанием природы.

[29] Имелось в виду, вероятно, что N*(k/N) = k = (условно) ∞*0, при N → ∞, для любого числа k.